MatIntro opgave 2.3 ii

Vi ser på et stof, der fordeler sig mellem to ikke blandbare væsker som f.eks. vand og benzen, når stoffet er uopløseligt i begge væsker. Man (Nernst) har fundet eksperimentelt, at forholdet mellem koncentrationerne i de to væsker (faser) er konstant:
                       (c[b])/(c[v])=K.
Vi vil se på en situation, hvor vi har en opløsning af stoffet i vand og vil prøve at ekstrahere så meget som muligt med benzen i det simple tilfælde, hvor konstanten K er 1. Vi har en liter vandig opløsning med koncentrationen c og en liter benzen at ekstrahere med.
Hvis vi benytter al benzenen på én gang, vil restkoncentrationen i vandet være

c/2
             

Hvis vi deler benzenen op i to lige store portioner og udfører to ekstraktioner efter hinanden, vil der efter første ekstraktion være koncentrationen (2/3)c i vandet. Efter anden ekstraktion vil der så være koncentrationen

                     (2/3)^2c
. Det vil sige, at vi på denne måde har opnået at trække mere af stoffet ud af vandfasen.

(a) Beregn på tilsvarende måde, hvor stor restkoncentrationen i vandet er, hvis man deler benzenen op i tre lige store rumfang og ekstraherer tre gange efter hinanden.

      Udfør samme beregning med fire lige store portioner og generaliser derefter resultatet til at gælde for n på  hinanden følgende ekstraktioner, hver med 1/n af rumfanget af  benzen.

(b) Det oplyses, at restkoncentrationen vil aftage jo større n bliver. Illustrer dette ved brug af Maple, at plotte restkoncentrationen som funktion af n.

(c) Argumenter for, at restkoncentrationen konvergerer når
n -> infinity
. Bestem ved brug af Maple grænsen for restkoncentrationen når
n -> infinity
. Er denne største nedre grænse for restkoncentrationen mulig at opnå?