Løsning af kompleks ligning

Prøv at forklare, hvordan du er kommet frem til resultatet. Ligningen splaltes via nulreglen i de to ligninger

e^z = (√3) + i   eller   e^z = 1 .

Den sidste ligning har den oplagte løsning z = 0 .

Jeg har ganget parenteserne ud:

-(e^z-1)(e^z-√3) + (e^z - 1)i = 0

-(e^z-1)(e^z-√3) + (e^z - 1)i - (e^z - 1)i = 0 - (e^z - 1)i

-(e^z-1)(e^z-√3) = -(e^z - 1)i

(-(e^z-1)(e^z-√3))/-(e^z - 1) = -(e^z - 1)i/-(e^z - 1)

e^z - √3 = i

e^z - √3 + √3 = i + √3

e^z = √3 + i

Sætter man

z = x + iy ,

fås

e^z = e^x · e^iy = e^x · (cos(y) + i·sin(y)) .

Man skal så løse ligningen

e^z = (√3) + i = 2 · ((√3)/2 + (1/2)·i) = 2·e^iπ/6 , dvs

e^x = 2 ∧ y = π/6 + p·2π , p ∈ Z .

Her er |z| = √(x² + y²) = √((ln(2))² + (π/6 + p·2π)²) , og man skal vælge de løsninger, for hvilke |z| < 3π , dvs

(ln(2))² + (π/6 + p·2π)² < 9π² .

Den anden ligning er e^z = 1, dvs

e^x · e^iy = 1 · e^i·0 , dvs

e^x = 1 ∧ y = p·2π  , p ∈ Z  .

Her |z| = √(x² + y²) = 2π·|p| , og man skal vælge de løsnnger, for hvilke |z| < 3π, dvs |p| < 3/2 ,
dvs p ∈ {-1 , 0 , 1} .

#3 Nu bliver jeg i tvivl - gælder værdierne for p for begge løsninger, eller kun for den ene? 

#4

De to ligninger har hver sit sæt af p-værdier.

Godt, sådan forstod jeg det også.

Er det muligt, at skrive sættet af p-værdier op pænere end (ln(2))^2 + (π/6 + p·2π)^2 < 9π^2, til den første løsning du kommer med? Det skulle jo være muligt at isolere p i denne ulighed, men det virker som noget rod at gøre i hånden. 

Gør det i øvrigt ikke en forskel, at vi ved, at p skal være et heltal? Kan man på den måde nemmere komme frem til sit sæt af p-værdier? 

Jeg har kæmpet med denne sidste del af opgaven alt for længe nu, så jeg er bange for at jeg har stirret mig helt blind på det! 

 

#6

Ja, det er da sikkert muligt. Man skal starte med at løse en 2.-gradsulighed i p og så finde heltalsværdierne mellem de to rødder.

Hmm. Det får et forsøg. Tak for hjælpen. 

 

Angående #3

Hvordan løses uligheden (ln(2))^2 + (π/6 + p·2π)^2 < 9π^2 ? Og er der eventuelt metoder til at undgå den? Kan man omskrive til polære koordinater og få noget ud af det?

Jeg ved at denne type opgaver er til løsning uden hjælpemidler, også uden lommeregner til den første prøve i Mat 1 på DTU, så derfor spørger jeg, da jeg ikke umiddelbart kan løse uligheden (ln(2))^2 + (π/6 + p·2π)^2 < 9π^2 for p ved håndkraft.

#9

Det følger jo så, at der skal gælde

| π/6 + p·2π | < √(9π² - (ln(2))²) .

Uligheden

(ln(2))² + (π/6 + p·2π)² < 9π²

er en 2.-gradsulighed i p , hvor man kan beregne de to rødder i den tilhørende 2.-gradsligning. De brugbare værdier for p er de hele tal mellem de to rødder.

Okay det giver god mening tak!
Jeg har dog nærmest ingen erfaring eller viden om løsning af uligheder. Vil du guide mig lidt angående løsningen af uligheden? Altså hvordan man får den tilhørende andengradsligning, og hvordan man løser den?
På forhånd tak

#11

Man løser en 2.-gradsulighed, for eksempel ax² + bx + c < 0 , ved først at løse den tilsvarende 2.-gradsligning

ax² + bx + c = 0 ,

og så benytte, at et 2.-gradspolynomium, hvor koefficienten a > 0, er negativt mellem dets rødder og positivt uden for dets rødder. Hvis a < 0, er forholdene lige modsat.

Er uligheden i dette tilfælde så

(ln(2))^2 + (π/6 + p·2π)^2 - 9π^2 < 0

Og andengradsligningen

(ln(2))^2 + (π/6 + p·2π)^2 - 9π^2 = 0

(ln(2))^2 + 4π^2 + p25p/6 + p^2/36 - 9π^2 = 0

med p som x-værdi?

#14

Ja, men den sidste linie er ikke korrekt. Man har

4π²·p² +(2/3)π²·p + ln(2))² + π²/36 - 9π² = 0