Skæringspunkter for cirkler

Ud fra lærdom om cirkelligninger, kan du forhåbentlig se, at centrum for C1 er (11, -2), og at centrum for C2 er (-1, 3), og at radius for C1 er kvrod(64) = 8, og at radius for C2 er kvrod(25) = 5.

Tegn disse cirkler!

Hvis du antager at den oplysning, du har fået - at der kun er ét skæringspunkt - er rigtig, så må cirklerne tangere hinanden i stedet for at skære.

Et lidt løst argument kan så være, at cirkler kun tangerer hinanden hvis afstenden mellem deres centrer er præcis deres radiers sum: afstanden fra centrum af C1 til centrum af C2 skal være 8 + 5 = 13.

Dette kan kontrolleres v.h.a. afstandsformelen (Pythagoras) for de to centrer. Derefter kan skæringspunktet findes v.h.a. vektor-regning eller lignende.

Alternativet er selvfølgelig at løse nogle grimme ligninger, der så skal ende i en 2. gradsligning, der kun har én løsning. Men det er måske mere besværligt...

Kan nemt finde radius og centrum.. Det er der ingen problemer i..
Men har desværre ikke lært vektor-regning..
Og ja tak, den ligning er pæn styg..
Men ellers tak for hjælpen..

Når man har vist at der kun er et skæringspunkt, kan man vel opstille en ligning for linjen gennem de to centre, og så finde dennes skæringer med hhv. cirkel 1 og cirkel 2. Det punkt der bliver løsning i begge tilfælde må være skæringen mellem cirklerne..

#3:
Ifølge det første indlæg skal man ikke vise, at cirklerne har præcis ét punkt fælles. Det oplyses, at det er tilfældet. Ønsker man at vise det, så kan argumentet, at center-center afstanden er lig summen af radierne (jf. #1) anvendes.

#2:
Lad mig uddybe Waterhouses forslag, for det giver en hensigtsmæssig metode til at løse den foreliggende opgave. Vi skriver cirkelligningerne ud:

C1: x^2 + y^2 - 22x + 4y + 125 = 64 (1)
C2: x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 25 (2)

og dernæst subtraheres (1) fra (2). Vis selv, at vi får

t: y = (12/5)x - 38/5 (*)

Her er t, i parentes bemærket, præcis den linje, som tangerer begge cirkler og indeholder punktet, som cirklerne har fælles. Bemærk, at formen af ligningen (*) tillige indeholder den information, at skæring mellem to cirkler formelt svarer til skæring mellem en linje og en cirkel.

Vi gør nu følgende observation, som letter beregningerne betydeligt.

Cirklerne vides at have netop ét punkt (lad os sige P) fælles. Punktet P må derfor ligge på den linje, n, som indeholder cirklernes centre. Endvidere er P indeholdt i linjen t. Men så kan P kun være skæringspunktet mellem linjerne n og t.

Løs opgaven herfra. Ifølge mine beregninger er koordinatsættet til P

(47/13, 14/13)

//Epsilon

Tak Epsilon..

For at komme frem til linjen
t: y = (12/5)x - 38/5
kan jeg endten finde den linje der både går gennem begge centrummer på cirklerne, eller sætte de 2 cirkel ligninger lig med hinanden..
Men hvordan finder jeg den linje du klader n??
I følge min tegning er dit koordinatsæt til P meget rigtig.. :)

Man kan også finde det punkt der er 8 13.-dele af afstanden fra C1 til C2. Altså x:(8*(-1)+5*11)/13 og finde y på samme måde. Det punkt må være skæringspunket

#5:
Nej, du misforstår vist, hvad jeg skrev. Linjen

t: y = (12/5)x - 38/5

er tangent til C1 og C2 og indeholder punktet P, som cirklerne har fælles. I modsætning hertil er linjen n den linje, som indeholder cirklernes centre,

C = (-1,3) hhv. C' = (11,-2).

Forslaget i #6 kan også benyttes; det er beregningsmæssigt lidt lettere end at finde skæringspunktet mellem t og n. Man udnytter blot, at P er placeret således på linjestykket CC', at det deler dette i forholdet 5:8. Koordinaterne til P skal således vægtes med 8/13 mht. C og med 5/13 mht. C'.

Afprøv begge forslag og kontrollér, at resultaterne vitterligt stemmer overens.

//Epsilon