Matematik

Funktion

16. september 2005 af det.dean (Slettet)

Hey..
Har en opgave jeg virkelig ikke ved hvad jeg skal gøre med.. Så håber her er en der kan hjælpe..
Opgaven lyder som følger:

Funktionen f er givet ved f(x) = kvr(x). For x>0 betegner P(x , kvr(x)) et punkt på grafen for f. En linje n går gennem punktet P og står vinkelret på tangenten t til grafen for f i P. Skæringspunktet mellem n og førsteaksen kaldes Q. Punktet R er den vinkelrette projektion af P på førsteaksen.

Gør rede for, at der for ethvert positivt tal x gælder, at arealet af PRQ er (1/4)*kvr(x)..

Opgaven står i "Eksamensopgaver i Matematik" og det er boget for det 3-årige forløb til A-niveau..
Vil virkelig være glad hvis nogle kunne hjælpe..

//det.dean

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. september 2005 af fixer (Slettet)

Vi ved indledningsvis at:

P = (x_p,sqrt(x_p))
R = (x_p,0)

for ethvert x_p>0.

Metode:

1. Find ligningen for linien n.
2. Find Q
3. Beregn areal af trekant PQR

1. Da n skal stå vinkelret på tangenten til grafen for f i punktet P starter vi med at bestemme hældningen for tangenten.

Den er givet ved den første afledede af f i punktet P. Lad os kalde denne hældning h1.

h1 = f'(x_p) = 1/(2sqrt(x_p))

Lad nu h2 være n's hældning. Da produktet af hældningerne af to vinkelrette linier er -1 findes h2 af

h2*h1 = -1

h2 = -1/h1 = -2sqrt(x_p)

Idet vi ved at punktet P ligger på n findes dens ligning som

n : g(x) = -2sqrt(x)(x-x_p)+sqrt(x_p)

2. Punktet Q er bestemt ved n's skæring med x-aksen. Altså bestemmes Q's x-koordinat x_q af

g(x_q) = 0 <=>

-2sqrt(x_p)(x_q-x_p)+sqrt(x_p)=0 <=>

x_q = x_p + ½

Punktet Q er da Q(x_p+½,0)

3. Da punktet R fremkommer ved vinkelret projektion af P på x-aksen må vinkel R være ret. Trekant PQR er derfor retvinklet og dens areal er da givet ved

A = ½|RP||RQ|

Overbevis dig selv om at

|RP| = sqrt(x_p)
|RQ| = ½

derfor er

A = sqrt(x_p)/4

hvilket skulle vises.

Svar #2
16. september 2005 af det.dean (Slettet)

Oki.. Mange tak.. Det hjalp da en del.. Der er bare 2 ting jeg ikke helt er med på..
1.
-2sqrt(x_p)(x_q-x_p)+sqrt(x_p)=0
Hvorfor må du bare sætte x_q ind på det andets x plads??

2.
Jeg er heller ikke helt forstående med hvordan du får |RP| til sqrt(x_p)??

Men ellers mange tak for den finde besvarelse..

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#1:
Det er værdsat, at du velvilligt hjælper; men jeg skal dog lige minde om, at politikken herinde er, at man tilstræber ikke at levere deciderede besvarelser af de opgaver, som spørgerne har problemer med. Det er bedre, at man giver passende vink for derigennem at spore sig ind på, hvori spørgerens problemer består. Det tager normalt længere tid at 'spille ping-pong' på den måde, ja. Men erfaringerne siger, at spørgerne generelt får mere ud af løbende vejledning frem for komplette besvarelser.

Vi oplever undertiden brugere, som alene er ude på at få serveret en besvarelse, hvad enten det drejer sig om opgaver i naturvidenskab eller gennemrettelse af tekster i sprogfagene. De fleste må kunne se, at det i bund og grund er lodret snyd.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#2:

ad 1.
Fordi punktet Q _er_ indeholdt i normalen n til tangenten; Q er jo defineret som skæringspunktet mellem n og førsteaksen.

ad 2.
Punktet R er ifølge opgaveteksten den vinkelrette projektion af P på førsteaksen. Det betyder, at |RP| er afstanden fra førsteaksen (linjen y = 0) til P (som er indeholdt i grafen for f), altså præcis f(x_p);

|RP| = f(x_p) = sqrt(x_p)

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#2:

ad 2.
For nu at gøre det soleklart udsiger den pythagoræiske afstandsformel netop, at afstanden mellem punkterne P (x_p,f(x_p)) og R (x_p,0) er

|RP| = sqrt[(x_p - x_p)^2 + (0 - f(x_p))^2]
|RP| = sqrt[f(x_p)^2] = f(x_p)

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. september 2005 af fixer (Slettet)

#3 Hvor er denne politik nedfældet ? På Studieportalen er det ikke lykkedes mig at finde en officiel politik desangående. Jeg forventede fatisk at blive informeret herom da jeg oprettede mig som bruger.

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#6:
Den politik er desværre endnu ikke nedfældet nogetsteds herinde - gid det modsatte var tilfældet. Derfor kan man naturligvis ikke forventes at vide det som ny bruger, og det var sådan set den egentlige grund til, at jeg informerede dig om det. Inden for en overskuelig fremtid formoder jeg dog, at webmaster vil bringe nogle konkrete retningslinjer på banen, for der er ganske enkelt for mange eksempler på det i #3 omtalte forhold. Indtil da må du forlade dig på mine udsagn.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #8
16. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#7: Hmm...jeg må hellere omformulere:

" Jeg formoder dog, at webmaster inden for en overskuelig fremtid vil bringe (...) "

//Epsilon

Skriv et svar til: Funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.