Forbryderjagt med vektorer

Benyt, at skibets position r(t) som funktion af tiden kan angives ved

r(t) = r₀ + v·t

hvor r₀ er dets position til tiden t = 0, og v er dets hastighedsvektor. Benyt et sådant udtryk for hver af de to skibe.

Hej, jeg har forsøgt at gå frem efter dine anvisninger Andersen11, men jeg er ikke sikker på, hvordan man finder hastighedsvektoren. Jeg har i stedet forsøgt at løse opgave a) på en anden måde. Jeg har vedhæftet mine udregninger denne kommentar. Er de helt skæve og i så tilfælde, hvad skal jeg så gøre?

I opg a) har vi en parameterfremstilling for patruljebådens rute

r_pat(t) = (0 ; -500m) + v·t , t ≥ 0, med |v| = 5m/s

mens smuglerbådens rute er

r_smug(t) = (0 ; 0) + (3m/s ; 0)·t , t ≥ 0

og man skal bestemme v = (v_x , v_y) = |v|·(cos(φ) , sin(φ)) , så at der vil gælde r_pat(t) = r_smug(t) for , dvs.

vx·t = 3m/s·t , og

-500m + v_y·t = 0 ,

dvs

v_x = 3m/s , og

v_y = 500m/t , med t ≥ 0

og der skal også gælde v_y = √(5²-3²)m/s = 4m/s , dvs patruljebådens hastighed skal være

v = (v_x , v_y) = (3m/s , 4m/s) .

Kursen er derfor bestemt ved retningsvinklen φ for vektoren v , dvs

cos(φ) = 3/5 , sin(φ) = 4/5 .

#2

Din fremgangsmåde er korrekt, men |AB| er ikke 0,5 , men 4, hvilket ses af Pythagoras.

Arh. okay. Nu har jeg forstået, hvad du mente. Tak for hjælpen.

Hvis man nu var lidt mere ambitiøs end bare at lave delspørgsmål a), og man derved godt kunne tænke sig at løse spørgsmål b. Hvad skal man så gøre?

Jeg har dog et spørgsmål, som jeg er lidt i tvivl om. Når du skriver "Kursen er derfor bestemt ved retningsvinklen φ for vektoren v , dvs

cos(φ) = 3/5 , sin(φ) = 4/5"

Det er da kun en vinkel man skal finde. Så mener du, at man enten kan finde vinklen ved cos(φ) eller sin(φ)? for det andet, skal formlen for cos(φ) ikke være: cos(φ) = 4/5 og formlen for sin(φ) = 3/5 jf. min ilustration i den tidligere vedhæftede fil? Ellers håber jeg, at du er rar og forklare hvorfor, det hænger sådan sammen.

Desuden tror jeg, at jeg har løst delspørgsmål b

Har jeg ret, hvis jeg påstår, at man skal sætte de to liginger lig hinanden sådan, at man får, at

(0 ; -500m) + v·t = (0 ; 0) + (3m/s ; 0)·t ⇔ t = 125 sek. = 2,08 min.  ???

#6

For at bestemme en vinkel entydigt i intervallet [0;2π[ , eller [0º;360º[ , som det er nødvendigt at gøre for at bestemme en kompasretning, skal man benytte både cos(φ) og sin(φ) .

#7

Svaret på b) finder man jo ved at benytte resultatet fra #3

v_y = 500m / t ,

hvor v_y = 4m/s , dvs

t = 500m / (4m/s) = 125 s

som du også finder.

Okay super, så er jeg også helt med. Men det er vel stadig med cos(φ) = 4/5, sin(φ) = 3/5 og ikke cos(φ) = 3/5 , sin(φ) = 4/5 ellers passer min illustration vel ikke, samt den fremgangsmåde, som du sagde var  korrekt, men med den fejl, at |AB| ikke var 0,5 , men 4?

I opgave c får jeg at vide, at bådene mødes i punktet B. Jeg bliver efterfølgende bedt om at bestemme den position, hvor patruljebåden vil indhente smuglerbåden. Har jeg forstået det korrekt, hvis jeg siger, at det er det punkt, som jeg på min illustration har kaldt punktet C, jeg skal bestemme? I så tilfælde er det så rigtigt, at fordi vektor BC er en stedvektor så er koordinaterne til punktet C givet ved C(3,4)?

#9

Ja, den vinkel, jeg har bestemt, er den sædvanlige vinkel regnet fra x-aksen. Opgaven beder vist om vinklen med retningen til nord, så der er det derfor komplementvinklen til φ, der skal afleveres som resultatet.

Som opgaven er formuleret synes jeg ikke det giver mening, for punktet B er f8rst defineret som patruljebådens startposition. Hvis vi i stedet kalder møde punktet for C, er det det punkt, der blev bestemt i #3, dvs punktet C's korodinater findes ved at indsætte t = 125s i enten r_pat(t) eller r_smug(t) , dvs

OC = r_smug(125s) = (375m ; 0m)

Super. Tak. :-) 

I opgave d) for jeg den information, at efter et minut opdager smuglerbåden, at den bliver jagtet, og den ændrer derfor kursen til nordøst (  i forhold til nord). Jeg skal derefter bestemme bådenes position på opdagelsestidspunktet.

Har jeg ret, hvis jeg hævder, at jeg skal løse r_smug(60s) = 60s *((3m ; 0m)) = (180 m ; 0 m)

#1

Ja, man skal beregne både r_smug(60s) og r_pat(60s) . Din mellemregning er dog forkert med enhederne, idet

r_smug(t) = (3m/s ; 0)·t

(På dansk får man information).

Nå ja, det ser jeg nu. Der står båd i flertal.  tak fordi du huskede mig på det.

Jeg får så at

r_smug(60s) = 60s *((3m/s ; 0)) = (180 m ; 0 m)

r_pat(60s) = (0 ; -500m) + 60s*(3m/s ; 4m/s) = (0 ; -500) + (180m ; 240m) = (180m ; -260m)

Er det korrekt?

#13

Ja, det ser rimeligt ud. Husk enhederne i mellemregningerne også.

I opgave d bliver jeg så bedt om at bestemme den kurs i forhold til nord, som patruljebåden skal holde for at hente smuglerbåden hurtigst muligt. Denne opgave minder vel meget om opgave a), så jeg må vel skulle gøre noget lignende, men jeg er lidt usikker på hvordan. Kan jeg opstille disse parameterfremstillinger? Og hvad gør jeg så?

r_pat(t) = (375m ; 500m) + (3m/s ; 4m/s)·t



r_smug(t) = (375m ; 0m) + (3m/s ; 0m/s)·t

#15

Dine parameterfremstillinger er ikke korrekte.

Det er samme problemstilling som i a), men bådene starter jo så i de punkter, der blev bestemt i #13, og bådene sejler med nye hastighedsvektorer. Smuglerbådens hastighed ændrer retning, og man skal bestemme patruljebådens nye kurs.

Ja, det var også det jeg tænkte, men får jeg så ikke at:

r_pat(t) = (375m ; 500m) + (v_x ; v_y)·t

r_smug(t) = (375m ; 0m) + (3m/s ; 0m/s)·t

V_x = 3m/s

V_y = -500/t

og der vil vel så gælde det samme som ved opgave a, at  v_y = √(5²-3²)m/s = 4m/s , dvs patruljebådens hastighed skal være

v = (vx , vy) = (3m/s , 4m/s) .

men så får jeg jo det samme resultat som ved opgave a, og det kan jo ikke være rigtigt.

#17

Nej, det er ikke korrekt. Smuglerbåden ændrer kurs, så dens nye hastighed v = 3m/s·(cos(45º) , sin(45º)) , og man skal så finde patruljebådens nye kurs.

r_pat(t) = (375m  ; 500m) + (vx ; vy)•t

r_smug(t) = (375m ; 0m) + (3m/s*cos(45)  ; 3m/s*sin(45))•t

(375m  ; 500m) + (vx ; vy)•t = (375m ; 0m) + (3m/s*cos(45)  ; 3m/s*sin(45))•t ⇔

vx = 3m/s*cos(45) = 2,12m/s ,
vy = 500m*3m/s*sin(45) = -497,88 m/s
 

dvs. patruljebådens hastighed skal være
v = (vx , vy) = (2,12m/s, -497,88 m/s)
 

Arh. Det tror jeg nu ikke er rigtigt, men jeg har forsøgt så godt, som jeg kunne at følge dine anvisninger. Hvad har jeg gjort galt?

#19

Du har ikke forstået, at bådene nu starter i de punkter, der blev bestemt i #13, som jeg skrev tidligere.

Man har så, idet man regner tiden nu fra de 60s:

r_pat(t) = (180m ; -260m) + v·t , t ≥ 0, med |v| = 5m/s , og

r_smug(t) = (180 m ; 0 m) + (3m/s·cos(45º) ; 3m/s·sin(45º))·t ,

og man skal igen løse ligningen r_pat(t) = r_smug(t) . Det resulterer i de to ligninger

180m + (5m/s)·cos(φ)·t = 180m + (3m/s)·(√2)/2 · t , og

-260m + (5m/s)·sin(φ)·t = (3m/s)·(√2)/2 · t ,

dvs

cos(φ) = (3/5)·(√2)/2 , og dermed sin(φ) = √(41/50)

Herefter kan man beregne den nye tid t, hvor bådene mødes, samt deres fælles position.