Solve en ligning

Prøv at formulere opgaven her. Dette link er ikke tilgængeligt for alle.

Vær opmærksom på at din lommeregner sikkert gør nøjagtigt, hvad duinstruerer den til at gøre.

Opgavesættet er vedhæftet i denne besked.

#2

hvis du har bestemt N'(t) , skal man løse ligningen

N'(t) = 56 .

Man har

N(t) = a/(1 + b·e^-ct)  ,

så

N'(t) = abc·e^-ct / (1 + b·e^-ct)² ,

og dermed

N'·(1 + b·e^-ct)² = abc·e^-ct

Dette er en 2.-gradsligning i e^-ct .

hmm.. ved ikke hvordan jeg skal komme videre fra den sidste ligning du har skrevet...

Altså jeg har beregnet hvad N'(t), og det har jeg så sat lig med 56

Ligningen burde egentlig så kunne solves i mit matematikprogram TI-Nspire, men det gider den åbenbart ikke og ved ikke hvorfor..

#5

Der er ikke tale om, at lommeregneren ikke gider udføre opgaven. Der er tale om, at dens bruger ikke har gidet sætte sig ind i at bruge den rigtigt.

Man kan genkende, at der er tale om en løsning til den logistiske ligning.

Med

N = a / (1 + b·e^-ct) ,

er N en løsning til differentialligningen

N' = N · (c/a) ·(a - N) .

N' har maksimum hvor N'' = 0, dvs for N = a/2 , hvor der da gælder

N' = (a/2) ·(c/a) · (a/2) = ac/4 = 10366·0,0216/4 = 55,9764

Væksthastigheden N' bliver derfor aldrig større end 55,9764 . Ved den maksimale væksthastighed er

N = a/2 = 5184 .

Løser vi ligningen

N = 5184 ,

har vi

e^-ct = (a/N - 1)/b = (2-1)/b = 1/b ,

dvs

t = ln(b)/c = ln(156,1)/0,0216 = 233,82,

som er det søgte antal år efter 1750 .

Det følger også af denne udledning, at ligningen

N'(t) = 56

ikke har nogen løsning.

Tusind tak! Nu ved jeg da i hvert fald, hvorfor ligningen ikke kan løses. Flere steder er jeg dog i tvivl om, hvordan du kommer fra det ene til det andet..

#7

Du er da velkommen til at stille supplerende spørgsmål.

Jeg tror egentlig ikke vi behøver, at gøre det på den der måde, når det kun er B-niveau. Vi har f.eks. ikke haft om differentialligninger endnu.

Nu når jeg lige har dig, kan du så fortælle mig om jeg har regnet 4 c) rigtigt?

Jeg får at:

N'(200) = 49,126

N'[400) = 5,85471

Kan det passe? 

#9

4b) drejer sig om det generelle udtryk for N'(t).

4c) indeholder de to talberegninger. Det ser ud til, at du har regnet rigtigt.

Jeg kom til at skrive forkert, men nåede ikke lige at rette det, inden du skrev ovenstående besked. Det var kun c) jeg ville spørge om.

Men vil det så sige at:

 - Verdens befolkningstal stiger med 49,129 mio. om året efter 200 år, dvs. i år 1950.

 - Verdens befolkningstal stiger med 5,85471 mio. om året efter 400 år, dvs. i år 2150.

#11

Ja, det er netop sådan, det skal fortolkes.

Super, tak!

Et sidste spørgsmål til 4 d):

Nu hvor vi ikke har lært at gøre det på den måde, som du viste i #6, har du så en anden måde man kan svare på opgaven på? 

#13

I #3 skitserede jeg en fremgangsmåde, der fører til en 2.-gradsligning i e^-ct . Vis, at denne lignings diskriminant d er negativ, hvorfor ligningen N'(t) = 56 ikke har nogen reel løsning. Ligningen, der skal løses, er

b²·(e^-ct)² + (2b -abc/N')·e^-ct + 1 = 0 ,

hvis diskriminant er

d = (2b -abc/N')² - 4b² = (abc/N')² - 4ab²c/N' = (abc/N')·b·(ac/N' -4) .

Med a = 10366, c = 0,0216 og N' = 56 , udregnes det let, at

ac/N' -4 = 3,998314 - 4 = -0,00169 < 0 , hvorfor d < 0 .

Du skal have mange tak for hjælpen!