Fourierkoefficienter på kompleks form

Det kan gøres nemmere. Brug at sin(x) = (e^ix-e^-ix)/(2i) og cos(x) = ½(e^ix+e^-ix)

Hej Peter Lind

Tak for dit svar.
Jeg er ikke helt sikkert på, hvordan det skal benyttes. Vil du så sige, at f(x) = 1+ (1/2)*sin(x)+sum(cos(n*x)/2^n, n = 1 .. infinity) på kompleks form er lig med

1+½*(e^ix-e^-ix)/(2i)+sum((1/n^2)*½(e^inx+e-inx),n=1..infinity)?

I næste opgave, skal jeg også bestemme en værdi for N således at N'te afsnitssum SN opfylder at

|f(x)-SN(x)|<=0.01

Der har vi lært følgende to metoder til at bestemme N på

|f(x)-SN(x)|<=(1/sqrt(N))*(1/sqrt(Pi))*sqrt(int(|f'(t)|²,t=-Pi..Pi))

Og 

|f(x)-SN(x)|<=sum((|an|+|bn|),n=N+1..infinity)

Så der skal jeg jo alligevel bruge f(x) eller både an og bn. 
 

Hvis du bruger formlerne får du  ∑( a_nsin(nx)+b_ncos(nx) )  = ∑( a_n(e^inx-e^-inx)/(2i) +b_n(e^inx+e^-inx)/2 )  Derefter er det blot at rokere med leddene så led med + i eksponentialfunktionen stå sammen og led med minus står sammen

an og bn har du jo så det vil nok være nemmest at bruge formlen med a_n og b_n

Tak for svar.

Jeg er stadig ikke helt med.

∑( an(e^inx-e^-inx)/(2i) +bn(e^inx+e^-inx)/2 ) skrives op for funktionen og leddene rokeres:
 

∑ an*(e^inx/2i)+bn*(eⁱⁿ/2)+an*(-e^-inx/2i)+bn*(e^-inx/2)

Hvor an=1/2ⁿ. Men vil du så sætte det overstående udtryk lig med ½*sin(x)+ ∑ 1/2ⁿ*cos(nx) og finde bn?

Nej du får jo så ∑½(a_n/i+b_n)e^inx + ½(-a_n/i+b_n)e^-inx)  Dermed har du den på eksponentiel form. Der skal godt nok lige pyntes på den. Sæt værdierne for an og bn og du skal nok også ændre det sidste led ved at skifte fortegn på n og dermed lasde summationen gå fra -uendelig til 0

Men jeg ved jo ikke, hvad bn er? Så kan jeg jo ikke sætte dens værdi ind

Det fremgår af #0 at den er 2^-n med mindre du har skrevet forkert op. Det har du ganske vist; så det er en fortolkning.

Altså Fourierrækken er givet ved:
 

f(x)=1+½*sin(x)+∑(1/2ⁿ)*cos(n*x)

Så ville jeg jo sige at a0 = 2, an=(1/2ⁿ) og ∑ bn*sin(n*x)=½*sin(x)

Det vil sige at, b1 = ½, b_i =0 for i>1  a_n= 2^-n

Jeg er med på at b₁=½ og b_i=0, men hvordan kommer du så frem til a_n=2^-n?

Du har jo leddet +∑(1/2ⁿ)*cos(n*x) hvilket jo er fourierrækken med a_n = 2^-n

Hov, nu så jeg forkert. Jeg er med på at a_n=2^-n men hvis b₁=½ og b_i=0 for i>1 så er bn=½ ?

Hvis du vil udtrykke det med n i stedet for i er b_n = 0 for n >n>1 så b_n=½ gælder kun for n =1

Mange tak for hjælpen. Jeg har fået styr på det nu :)