Test om to linjer er sammenfaldende [parameterfremstilling]

Ekstra spørgsmål til #0

 2) Finde skæringspunkter

  Jeg finder vel en stedvektor til skæringspunktet og ikke et punkt, har jeg ret? Tak

De to linier er parallelle, hvis de to retningsvektorer er parallelle. De to linier er sammenfaldende, hvis vektoren P₁P₂ er enten nulvektoren eller parallel med de to retningsvektorer, hvor P₁ er det faste punkt på den ene linie, og P₂ er det faste punkt på den anden linie.

To egentlige vektorer a og b er parallelle, hvis og kun hvis |a•b| = |a||b| .

2) Skæringspunktet findes ved at benytte forskellige parametervariable for de to linier (s og t), og så løse ligningssystemet

x₁(s) = x₂(t)

y₁(s) = y₂(t)

Sættet (s,t) der er løsningen til ligningssystemet, kan så benyttes ved indsættelse i de respektive parameterfremstillinger til at beregne skæringspunktets koordinater

(x₁(s) , y₁(s)) = (x₂(t) , y₂(t))

Tak Andersen..

Jeg finder lige på et eksempel og ser, om jeg har forstået det rigtigt..
 

l: [x,y] = [1,2] + t*[1,2]

                ^{Pl            rl}

m : [x,y] = [2,1] * s * [2,1]

                    ^{Pm            rm}

Parallelle ? det(rl,rm) =  [-2,1] • [2,1] = -4 + 1 = -3 ≠ 0 dvs. nej

Sammenfaldende? P_lP_m = [2-1 , 1-2] = [1,-1]        Ikke nulvektoren

                Parallel med en af retningsvektorerne?

                                               det(P_lP_m, r_l) = [1,-1] • [-2,1] = -2 -1 = -3 ≠ 0   no

                                              det(PlPm, rm) = [1,-1] • [-1,2] = -1 - 2 = -3 ≠ 0 no

Dvs. ikke sammenfaldende og ej heller parallelle, korrekt eller wrong? :S

#3

Hvis du har vist, at linierne ikke er parallelle, er der ingen grund til så at undersøge, om de er sammenfaldende. To linier, der ikke er parallelle, kan ikke være sammenfaldende.

Undersøgelsen om sammenfald benyttes til at skelne mellem om der er tale om to forskellige parallelle linier, eller den samme linie med to forskellige parameterfremstillinger.

I tilfældet, hvor de to linier ikke er parallelle, kan det udmærket tænkes, at vektoren P₁P₂ er parallel med den ene af de to liniers retningsvektorer, hvis for eksempel P₁ eller P₂ er det fælles skæringspunkt mellem linierne.

#4 ja ok ok tak

Lad os sige, at det(rl,rm) = 0

 Ville dette så være en korrekt måde at se, om de er sammenfaldende på: ?

        Sammenfaldende? PlPm = [2-1 , 1-2] = [1,-1]        Ikke nulvektoren

                Parallel med en af retningsvektorerne?

                                               det(PlPm, rl) = [1,-1] • [-2,1] = -2 -1 = -3 ≠ 0   no

                                              det(PlPm, rm) = [1,-1] • [-1,2] = -1 - 2 = -3 ≠ 0 no

Dvs. ikke sammenfaldende

#5

Ja, det fremgår vel af forklaringen i #2. Hvis det er vist, at de to linier er parallelle, er det tilstrækkeligt at undersøge forholdet mellem P₁P₂ og den ene af de to retningsvektorer. Hvis den er parallel med den ene retningsvektor, er den selvfølgelig også parallel med den anden, og modsat, hvis den ikke er parallel med den ene retningsvektor, er den jo heller ikke parallel med den anden.

TAK - endnu et spørgsmål

jeg har et spørgsmål mere vedr. skæring

m : [x,y] = [x₀,y₀] + t • [r_x,r_y] , t ∈R

l : ax + by + c = 0

Fremgangsmåde:

1) Er de parallelle? det(n_l,r_m) = 0

1.1) Hvis parallelle

- Enten sammenfaldende eller ikke sammenfaldende

1.2) Er de sammenfaldende

- ? ? ? ? ? ? ? ?  ? ? ? ?  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?  ?

- Evt. få den ene over til en parameterfremstilling eller omvendt?

 2) Skæring

 hvis det(n_l,r_m) ≠ 0

- Parameterfremstillingen indsættes i linjens ligning, hvor der er en ligning med en ubekendt t
-  t sættes ind i parameterfremstillingen
- Giver en stedvektor til skæringspunktet

#7

I den opstilling, hvor man kender parameterfremstillingen for den ene linie og ligningen for den anden, kender man umiddelbart retningsvektoren r_m for den ene linie og normalvektoren n_l for den anden linie. De to linier er parallelle, hvis og kun hvis de to vektorer er vinkelrette på hinanden, dvs, hvis og kun hvis
n_l•r_m = 0 . Udtrykket med determinanten kan ikke benyttes som du angiver det.

Hvis linierne er parallelle, kan man beregne afstanden fra det faste punkt P₁ på linien m til linien l . Hvis afstanden er 0, er de to linier sammenfaldende. Hvis afstanden er > 0, er de to linier forskellige og parallelle.

Der er tale om skæring (for linier i planen), hvis de to linier ikke er parallelle, dvs, hvis n_l•r_m ≠ 0 . Igen kan man ikke benytte determinantudtrykket her.

Det er korrekt, at man bestemmer skæringspunktet ved at indsætte parameterudtrykkene x(t) og y(t) i den anden linies ligning og løser den fremkomne ligning i t. Denne løsningsværdi for t fremstiller så skæringspunktet ved indsættelse i linien m's parameterfremstilling.

Hvis linierne er parallelle, kan man beregne afstanden fra det faste punkt P1 på linien m til linien l . Hvis afstanden er 0, er de to linier sammenfaldende. Hvis afstanden er > 0, er de to linier forskellige og parallelle

GENIALT

Lige et spørgsmål mere..  Når jeg har:

l : a₁x + b₁y + c₁ = 0

m : a₂x + b₁y + c₂ = 0

 Så er det   det(n_l,n_m) = 0, hvis de er parallelle, korrekt?

  Hvis de er parallelle: Leddet c er ens => De er sammenfaldende

- Hvordan beskriver jeg med ord, at disse to er sammenfaldende? (Jeg tror da, de er sammenfaldende- selvkonstrueret eksempel). At den ene ganget med en skalar giver den anden og har dermed samme c-værdi? = > Sammenfaldende..

2 x + 2 y + 4 = 0
 x + y + 2 = 0
 

#9

Det er næsten korrekt. Prøven for parallelitet er korrekt. De to linier er parallelle, hvis og kun hvis deres normalvektorer er parallelle, men ved undersøgelsen af sammenfald må man se på de normaliserede c-værdier. Man skal således se på c₁' = c₁/√(a₁²+b₁²) og c₂' = c₂/√(a₂²+b₂²) og yderligere skal man eventuelt gange den ene ligning med -1 , så at de to normaliserede normalvektorer peger i samme retning. Først da kan man afgøre sammenfaldet ved at se på, om c₁' er lig med c₂' .

Kommer tilbage i morgen.. hvis du har tid... er for træt, god nat og tak for hjælpen... så husk at tjekke tråden i morgen :)

#10 jeg har aldrig hørt om normaliserde c-værdier, og jeg skal ikke mene, at det ligger i mit 'pensum' ...

 Kan man ikke bare se, at hvis to linjer har samme c-værdi og er parallelle, så er de sammenfaldende, f.eks.

   2x + 4y + 8 = 0

    x + 2y + 4 = 0

  Det ses, at de er parallelle pga. de to normalvektorer... og c-værdien vil dermed være den samme, hvis man ganger den ene med et tal ...  = > Sammenfaldende ?

Andre må også gerne hjælpe :)

#10 Jeg har et spørgsmål, - i det givne eksempel (i #9)

1)  2x + 2y + 4 = 0
2)      x + y + 2 = 0

er det da ikke "overkill" at inddrage normaliserede c-værdier, idet
en forlængelse med 2 af den sidste ligning netop giver den første ligning,
er sammenfald af linjerne da ikke påvist ?

#13

Jo, det er da nok, men jeg gav en generel fremgangsmåde i #10, som virker i alle tilfælde. Hvis man umiddelbart ved forlængning kan se, at planernes ligninger er ens, er opgaven jo færdig der.