Separation af variable - Reaktionskinetik

Det gøres som din kilde siger.

Seperation af variable giver

Dette integrale kan du finde i en integraletabel, eller få Mathematica (eller Maple) til at regne ud. wolframalpha.com kan også bruges. 

Dette giver en ligning, som du kan løse for C(t).

Mvh Christian

dC/dt = k*(A0-C)*(B0-C)

1/((A0-C)*(B0-C)) dC/dt = k

 1/((A0-C)*(B0-C)) dC    = k dt

∫ 1/((A0-C)*(B0-C)) dC    = ∫ k dt + c₁

jeg får dog en noget voldsommere funktion af c, når jeg isolerer denne vha. solve.

Måske vil det være en ide at gøre prøve.

OK, så prøv at løse ligningen i hånden. (Den er første orden, så det skulle være muligt. ;-))

Jeg har været doven og har bare løst den i Mathematica, der får jeg præcis den samme løsning.

Hvilket matematikprogram bruger du?

Og husk at c_1=0.

Jeg arbejder lige nu på at få det løst i hånden. Fortsættelse følger.

Jeg får vha ti89, at det ubestemte(?) integrale

 ∫ 1/((A0-C)*(B0-C)) dC  =   1/(A0-B0) * ln(abs(C-A0)/abs(C-B0))

Hvordan ved man på forhånd hvad den arbitrære konstant c1 er?

og du er helt sikker på at [A]+[C]=A(0), altså uafhængigt af [B] ?

#7: 

(1) Det er også hvad jeg får.

(2) Fordi der skal løses to bestemte integraler, et fra tid lig 0 til t, og et fra C(0)=0 til C(t).

(3) For hvert C der dannes bruges et A (og et B) og C(0)=0. Han kunne også have skrevet den samme ligning op for B,

/Christian

Idet reaktionen hedder A+B->C, så må den aktuelle koncentration af C plus den aktuelle reaktion af A vel være lig med startkoncentrationen af A (hvis jeg altså forudsætter, at der ikke er noget af C ved reaktionens begyndelse, altså C(0)=0). Ligeledes er [B]+[C]=B(0). Jeg undskylder mange gange, at jeg ikke nævnte, at C(0)=0.

Jeg har fundet en anden kilde, der giver en anderledes løsning, hvor algebraen dog er medregnet. Dette resultat giver:

ln(([B]/B0)/[A]/A0)=(B0-A0)*kt.

Jeg foretrækker nu det oprindelige resultat, der giver en konkret funktion af C. Jeg finder det dog næsten umuligt at komme frem til det resultat uden at bruge "snydemetoder" (Maple etc.).

Jeg tænker, at 

∫ 1/((A0-C)*(B0-C)) dC    = ∫ k dt

i meget høj grad ligner et faktoriseret andengradspolynomium. Vil det mon være muligt at omskrive det til et polynomium og løse integralet ved hjælp af substitution?

#9: Dette er det samme resultat, som det oprindelige, her bare givet for A og B istedet for C.

#10: Ja, der er lige præcis et andengradspolynomium. Substitution en nok ikke en dårlig idé. Jeg ville kigge på at substituere med x=(A0-C)/(B0-C) og så se om integralet kan reduceres til definitionen af den naturlige logaritme

Mvh Christian

Jeg tænkte, at det var nemmere, at gange parantesen ud før jeg substituerede. Jeg fik således:

∫1/(C^2-(A0*B0)*C+A0*B0) dC = kt

Her substituere jeg så nævneren med Q og får:

∫1/Q*1/(2C-A0*B0) dt = kt

Her kan jeg så sætte 1/(A0*B0) og 1/2 uden for integraltegnet, hvilket efterlader mig med:

(1/2)*(1/A0*B0)*∫(1/Q)*(1/C) dt = kt

Herefter tænkte jeg, at det ville være smart at sætte Q og C på samme brøkstreg og at indsætte Q=C^2-(A0*B0)*C+A0*B0 igen. Dette efterlader mig med:

(1/2)*(1/A0*B0)*∫(1/(C*(C^2-(A0*B0)*C+A0*B0)) dt = kt

Og her går jeg så i stå. Jeg skal integrere 1 divideret med et tredjegradspolynomium, hvilket jeg ikke føler, at jeg er i stand til. Når jeg tænker tilbage, så lykkedes det mig kun at ændre andengradspolynomiet til et tredjegradspolynomium, hvilket ikke just er formålstjeneligt. 

Medmindre at du har en fantastisk idé, så tror jeg bare, at jeg lader mig nøje med løsningen fra min anden kilde. Jeg vil helst ikke spilde mere af din tid.

Nej, et tredjegradspolynomium er ikke lettere. Du har brug for et førstegradspolynomium. Jeg må indrømme at jeg ikke helt kan følge med i dine udregninger. Hvordan bliver dC til dt? 

Prøv at substituere med det x, jeg gav ovenfor. Du skal ikke gange paranteserne ud først, de står allerede på den bedste form mht. reduktion. (Jeg kan afsløre at denne metode godt kan lade sig gøre).

Mvh Christian
 

Du har da vist ret i, at jeg har mistforstået noget. Jeg tænkte, at:

Q=C^2-(A0*B0)*C+A0*B0

Q'=dC/dt=2C-A0*B0

dC=1/Q' dt,

men det er da egentligt ikke rigtigt. dC er jo lig med Q' dt. Eller roder jeg helt rundt med de gamle formler lige nu? Som jeg ser det, skal jeg nu få:

∫ 1/((A0-C)*(B0-C)) dC

(A0-C)*(B0-C) substitueres med x og dC substitueres med ((A0-C)*(B0-C))' dt.

∫(1/x)*((A0-C)*(B0-C))' dt

Jeg føler efterhånden, at jeg roder rundt på gulvet lige nu, så dette er sikkert ikke rigtigt. Og selv hvis det er, hvordan fortsættes så herfra? Jeg kan vel ikke dividere x' med x.

Fejlen er i ligning nr. 2

Dette er ikke korrekt. Du kender ikke C(t) (det er den du vil finde) så du kan derfor ikke lige udregne dC/dt.

Integration ved substitution går ud på at finde en smart variable istedet for C, der gør integralet lettere. Men! Dette er ikke nemt da dC ikke er lig dx. Derfor kan vi ikke bare bruge Q=(A0-C)(B0-C). 

Jeg gættede på at

var en smart variabel (ikke (A0-C)*(B0-C)). Dette var ikke et helt tilfældigt gæt, men fordi jeg kendte løsningen på forhånd ved at have "snydt" med Mathematica.

Når laver en sådan substitution skal du finde ud af hvad dx er. Dette gøres ved at udregne

Til slut skulle du gerne ende med

hvor x(0) og x(t) findes ved indsættelse af C(0) og C(t) i ligningen for x.

Vh Christian

Ahhh, nu giver det mening for mig. Jeg har dog stadigvæk et par problemer:

For det første, så får jeg ikke dx/x, men blot x dx. Mine udregninger er:

∫ 1/((A0-C)*(B0-C)) dC

x=(A0-C)/(B0-C)

dx/dC=(A0-B0)/((C-B0)^2)

dC=((B0-C)^2)/(A0-B0) dx

Indsættes i integralet:

∫ 1/((A0-C)*(B0-C))*((B0-C)^2)/(A0-B0) dx

Det ene B0-C fra den ene tæller og B0-C fra den ene nævner går ud med hinanden:

∫1/(A0-C)*(B0-C)/(A0-B0) dx

Det tilbageværende B0-C flyttes over på den anden tæller og 1/(A0-B0) flyttes uden for integraltegnet (blot en konstant):

1/(A0-B0)*∫(B0-C)/(A0-C) dx

Her substitueres så med x, idet x=(A0-C)/(B0-C)

Jeg står således tilbage med:

1/(A0-B0)*∫x dx,

hvilket jo er anderledes end dit resultat.

Og selv hvis jeg fik dit resultat, så ender jeg med et udtryk, der er så langt, at jeg umuligt kan arbejde med det. Jeg kan ikke finde ud af at indsætte ligninger på Studieportalen, og jeg tvivler på, at det ville være forståeligt at læse, hvis jeg bare skrev det. Jeg går også ud fra, at det er forkert, da jeg ikke just har prøvet at tage så komplicerede grænser før.

Jeg tror, at inden jeg går videre, så vil jeg gerne have en snak med min lærer. Jeg frygter, at denne løsningsmetode kan komme til at fylde adskillige sider, hvilket ikke er er en god ting for en SRP (som er det, jeg skriver lige for tiden). Jeg har jo allerede fået løst ligningen udtrykt som [B] og [A] på en betydeligt mere pladsbesparende måde.

Alt i alt, så ønsker jeg, at snakke med min vejleder inden, at jeg går videre. Du har efterhånden lært mig så meget, at jeg lige er nødt til at forhøre mig fra en anden fløj inden, at jeg går videre.

Jeg har bestilt en samtale på mandag. Jeg tror, at jeg udsætter videre arbejde med denne ligning indtil den samtale er overstået.