Komplekse tal - Udregn tallet

Omregn √3-i til polær form og opløft det så i 10. potens ved at benytte

(r·e^iθ)ⁿ = rⁿ·e^inθ

r = √((√3)²+1²)

= 2

Herefter

√3 = 2cos(θ)

cos(θ) = √(3)/2

θ = π/6

y = rsin((θ)

1 = 2sin(θ)

sin((θ)= ½

θ = π/4

Her får jeg

z = 2(cos(π/6)+isin(π/4))

Er det rigtigt?

z¹⁰ = (2¹⁰)(cos(π/6) + isin(π/4))¹⁰
= 1024(cos(π/6) + isin(π/4))¹⁰

?

#2, #3

Nej, det er ikke rigtigt. Det giver ingen mening at have to forskellige argumenter for cos() og sin(). Du skal benytte samme fremgangsmåde som i din tidligere tråd, hvor du bestemte argumentet for et komplekst tal.

Her er det komplekse tal

z = √3 - i = 2·((√3)/2 - i·(1/2)) ,

så man skal løse ligningssættet

cos(v) = (√3)/2   og   sin(v) = -(1/2)

#4

Er du sikker? Jeg fandt nemlig en MEGET lignende opgave her:

http://ca.answers.yahoo.com/question/index?qid=20111207140037AAh2XeY

TI-interactive fortæller også at resultatet skal give: 512+512(√3)i

#5

Ja. Du kan ikke have to forskellige argumenter til cos() og sin() i den polære repræsentation af z. Bestem argumentet v ud fra

cos(v) = (√3)/2   og   sin(v) = -(1/2)

og opløft så tallet i 10. potens.

Altså

x = 3√ og y = 1

(1) Z = r(cosθ + i sin θ)

r = (√x²+y²) = √((√3²)+1²) = √4 = 2

r = 2

θ = tan^-1(y/x) = tan^-1(1/(√3)) = π/6

θ = π/6

Sætter herefter værdien af r og θ i (1)

Z = 2(cos(π/6)+isin(π/6))

Så den polære form af of 3√+1 er 2(cos(π/6)+isin(π/6))?

#7

Ifølge formuleringen i #0 er tallet

z = √3 - i

Og hold nu op med at benytte tan(), for det giver ikke en entydig bestemmelse af argumentet. Man skal benytte både cos(v) og sin(v), hvilket jeg vist har gjort opmærksom på adskillige gange i din anden tråd, se

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1283838

Her er en anden måde at løse opgaven

kvrod(3-i)10  = (kvrod(3-i)²)⁵ = (3-i)⁵ = (3-i)²*(3-i)²(3-i)

Den metode Andersen angiver er bedre fordi den kan bruges i flere tilfælde; men hvis man har problemer med at omregne til polære koordinater er det et muligt alternativ

#9

Det drejer sig helt sikkert om tallet

z = (√3) - i

og beregningen af z¹⁰ .

v = cos-1((√3)/2) = π/6 eller v = 2π - cos-1((√3)/2) = 11π/6

og

v = sin-1(-(1/2)) = -π/6 eller v = π - sin-1(-(1/2)) = 7π/6

?

#11

Forskyd løsningerne modulo 2π, så de alle er i hovedintervallet [0;2π[ . Ellers kan du ikke afgøre, hvad der er den korrekte løsning. Der er ingen negative tal i hovedintervallet.

Eller tegn retningsvinklerne ind på enhedscirklen.

#12

Hvordan gør jeg det?

#13

Lægger man 2π et helt antal gange p til et tal v, får man jo et tal v + 2π·p, der har samme sinus og cosinus som tallet v. Der gælder

cos(v) = cos(v+2πp)   og    sin(v) = sin(v+2πp) , når p er et helt tal.

Jeg skal altså i stedet for sige:

v = cos-1(cos(v+2πp)) og v = sin-1(sin(v+2πp))  

Skal dette kun gøres for den negative?

Altså sin^-1(-(1/2)+2π*2)

eller er det her også helt forkert?

Skal jeg kun sige: sin(-(1/2)+2π*2)?

#15

Dine løsninger i #11 er korrekte, men et af tallene er uden for intervallet [0;2π[, nemlig løsningen -π/6 for den ene af sinusløsningerne. Læg derfor 2π til denne løsning, så man får

v = cos^-1((√3)/2) = π/6      eller      v = 2π - cos^-1((√3)/2) = 11π/6

og

v = sin^-1(-(1/2)) = 2π -π/6 = 11π/6      eller      v = π - sin^-1(-(1/2)) = 7π/6   ,

og bestem nu argumentet for tallet z.

#16

z = 2e^i(7π/6) ?

Og så skal det opløftes med 10, ikke?

#17

Nej, det er ikke rigtigt. Du skal jo udvælge det korrekte argument ud fra løsningerne i #16. Hvilket af argumentmulighederne er det samme, når man bestemmer ud fra sinus og ud fra cosinus?

Har du ikke tegnet det ind på enhedscirklen? Det gør det lettere at få overblik over, hvad der foregår.

#18

Jeg kiggede forkert. Der skal selvfølgelig stå v = 11π/6

Så z = 2e^i(11π/6)