Komplekse tal - Rv form

Siger jeg så cos(v)=1/2 og sin(v)= (-√3)/2? Hvordan regnes dette?

#1

Ja, det er korrekt. Man bestemmer så det argument v i intervallet [0;2π[ , for hvilket cos(v) = 1/2 og sin(v) = -(√3)/2 . Ligningen cos(v) = 1.2 har to løsninger, og ligningen sin(v) = -(√3)/2 har to løsninger, men kun een af disse løsninger opfylder begge ligninger. Tegn enhedscirklen for at få overblik.

Jeg fandt forresten denne PDF-fil: http://www.hax.dk/pdf/KompSide36-37.pdf

Et lille styk nede ved eksempel 1.3 ses en meget lignende opgave. Er det det samme jeg skal gøre?

#3

Jeg har ikke mulighed for at åbne det dokument lige nu. Man skal løse de to ligninger

cos(v) = 1/2 og sin(v) = -(√3)/2

i intervallet [0;2π[ . Indtegn coordinaterne for punktet (cos(v) , sin(v)) på enhedscirklen og bestem så v.

#4

Jeg forstår det ikke helt. Altså jeg skalindtegne (1/2 , (-√3)/2) på enhedscirklen? Altså (-√3)/2 op ad y-aksen og 1/2 hen på x-aksen? Hvordan bestemmer jeg så v?

Opgaven i dokumentet ser således ud:

z = 1+i*√3

Den numeriske værdi udregnes til 2.

Et argument for z er:

v = arg(z) = tan^-1(Im(z)/Re(z) = tan^-1((√3)/1) = π/3

Hvor der så herefter står at tallet den på polær form ser således ud:

z = 2*e^i(π/3)

#5

v er retningsvinklen for punktet på enhedscirklen med coordinaterne (cos(v) , sin(v)) = (1/2 , -(√3)/2) .

Det er ikke tilstrækkeligt at benytte tan(). Man skal benytte oplysningerne for både cos(v) og sin(v) .

Løser man ligningen cos(v) = 1/2 , finder man v = π/3 eller v = 2π - π/3 = 5π/3 .

Løser man ligningen sin(v) =  -(√3)/2 , finder man v =  2π - π/3 = 5π/3 , eller v = π - (-π/3) = 4π/3 .

Begge ligninger cos(v) = 1/2 og  sin(v) =  -(√3)/2 er derfor netop opfyldt for v = 5π/3 , som altså er argumentet for tallet z = 1 - i·√3 .

(2) Prøv nu selv at anvende metoden på det andet komplekse tal i opgaven.

#6

Er det så løsningen på opgaven? Eller er der mere til det?

#7

Løsningen på opgaven er, at

z = 1 - i·√3 = 2·e^i·5π/3

#8

Tusind tak. Jeg forsøger med (2) efter jeg har fået skrevet denne ind. Så håber jeg, at du stadig står til rådighed :-)

(2) -6+i2√3

Dets modulus r udregnes: r² = -6²+2√3

Hvordan omskriver jeg dette r² = 2(√3)-36?

#10

Du skal udregne modulus korrekt. Benyt parenteser.

z = -6 + i·2√3 ,

r² = (-6)² + (2√3)² = ...

(Bemærk, at -6² ikke er det samme som (-6)² )

#11

Ja, det kan jeg selvfølgelig godt se. Havde ikke bemærket at jeg havde glemt det i andet led.

Dvs. r² = -24

Her er jeg så lidt i tvivl igen, da det ikke er muligt at tage kvadratroden af et negativt tal?

Hvis jeg dog kun skriver: √24 får jeg 2√6, men det er vel ikke rigtigt at gøre?

#12

Det er ikke korrekt. Genlæs #11, specielt den sidste linie. Du bør have lært, at kvadratet på et reelt tal aldrig kan være negativt.

#13

Tusind tak.

r² = 48 dvs. r = 4√3

Herefter findes dets argument v:

cos(v) = (-6)/(4√3) og sin(v) = (2√3)/(4√3)

Hvordan kom du frem til  løsningerne på retningsvinklerne tidlegere? Du skrev at du løs ligningerne, men hvorledes?

Vedhæftet   # 0  (1)

#14

Reducer tallene for cos(v) og sin(v). Opgaven er jo tæt knyttet til den foregående opgave. Man indtegner punktet (cos(v) , sin(v)) på enhedscirklen og benytter sin viden om cos() og sin() i hovedintervallet [0;π/2] .

#16

Findes der ikke en formel for det? Dette kan jo ikke løses ved blot at indtegne det i hånden.

#17

Generelt kan man benytte, at

v = cos^-1(cos(v)) eller v = 2π - cos^-1(cos(v))

og

v = sin^-1(sin(v)) eller v = π - sin^-1(sin(v))

men for de simple værdier i disse to opgaver, bør man genkende løsningen ved at se på punktets placering på enhedscirklen.

#17

Men det er stadig ikke tilstrækkeligt at sige: tan^-1((2√3)/(-6)) = -π/6 ?

Men altså jeg får ved brug af formlerne:

cos^-1((-6)/(4√3)) = 5π/6

sin^-1 (2(√3)/(4√3) = π/6

Hvad nu?

#19

Nej, det er ikke tilstrækkeligt at benytte tan(), da tan() er periodisk med perioden π . Man skal benytte både cos(v) og sin(v).

Løs de to ligninger cos(v) = -(√3)/2 og sin(v) = 1/2 i intervallet [0;2π[ . Benyt fremgangsmåden i #18, hvis du ikke er i stand til at udvælge den korrekte løsning ved at indtegne punktet på enhedscirklen.