benytte subst. til at bestemme integral

S xIn(3x^2 + 5)dx , t=3x^2 + 5
dt = 6x dx
S xIn(3x^2 + 5)dx
= S 6*In(t)dt
denne skal integreres, hvorefter du erstatter t i resultatet med 3x^2 + 5

::2835::
www.gym-opg.webbyen.dk

S xIn(3x^2 + 5)dx , t=3x^2 + 5
dt = 6x dx
S xIn(3x^2 + 5)dx
= S 6*In(t)dt
= S 6* 1/x * 3x^2 + 5
hvordan regner jeg videre udfra min mellemregning?

i min mellemregning har jeg fået:
t=3x^2 + 5
dt/dx=6 <=>
dt=6x <=>
dx= 1/6dt

I går lidt galt i byen begge to.
dt = 6x dx,

Vi skal have forkortet x væk, derfor skal vi have omskrevet dt til udtryk for x dx, derved fås: 1/6 dt = x dx.

Derved får du S[1/6*ln(t)]dt

er det så sådan..
S xIn(3x^2 + 5)dx , t=3x^2 + 5
dt = 6x dx
S xIn(3x^2 + 5)dx
= S 1/6*In(3x^2 + 5)

men bag ved bogen står der en facit til denne opg som er:

a)1/6(3x^2 + 5)In(3x^2 +5)-(1/2x)^2 + k

Bogens resultat er skam rigtigt nok.

Vi ønsker at bestemme samtlige stamfunktioner til funktionen

f(x) = xln(3x^2+5)

og betragter derfor det ubestemte integral

S[f(x)]dx = S[xln(3x^2+5)]dx

Som krævet indføres substitutionen

t = 3x^2+5 => dt = 6xdx <=> xdx=(1/6)dt

altså må

S[xln(3x^2+5)]dx = (1/6)S[ln(t)]dt

i overensstemmelse med #3.

men

(1/6)S[ln(t)]dt = (1/6)[tln(t)-t]+C C E R

Substitueres tilbage fås derfor

S[xln(3x^2+5)]dx =

(1/6)((3x^2+5)ln(3x^2+5)-(3x^2+5))+C =

(1/6)(3x^2+5)ln(3x^2+5)-½x^2 + (C-5/6) =

(1/6)(3x^2+5)ln(3x^2+5)-½x^2 + k

hvor vi har sat k=C-5/6. Husk at C er en arbitrær integrationskonstant der kan antage alle reelle værdier. Det samme kan derfor C-5/6. Altså kan man ligeså godt gøre udtrykket mere læsbart ved at ersatte C-5/6 med en ny arbitrær konstant k.