f(x)=(x 1)^0,5 (x 1)^-0,5

Hvordan skal forskriften for funktionen forstås? Prøv at skrive den korrekt.

f(x)=(x + 1)^0,5 (x + 1)^-0,5   , x > -1.

Det kunne ligne denne opgave

https://www.studieportalen.dk/forums/Thread.aspx?id=90464

hvor der også er tvivl om forskriften, men måske det er

f(x) = (x+1)^1/2 + (x+1)^-1/2    ?

I så fald skal man i a) beregne arealet

A(M) = ₀∫³ f(x) dx ,

og i b) skal man beregne rumfanget

V_x = π · ₀∫³ (f(x))² dx

#2

Er der gangetegn og ikke + mellem de to kvadratrødder? Altså

f(x) = (x+1)^1/2 · (x+1)^-1/2 ?? Det giver ingen mening, da der så gælder f(x) = 1 .

Det er et + tegn.

Arealet var nemt nok for mig at udregne, men jeg blev ved med at tro jeg havde lavet noget forkert, fordi jeg sidder fast i beregningen af rumfanget, når M drejes 360 grader om koordinatsystemets førsteakse...

#5

Udregn først (f(x))² .

f(x) = (x+1)^1/2 + (x+1)^-1/2 ,

(f(x))² = (x+1) + 1/(x+1) + 2 = x+3 + 1/(x+1)

og beregn så

V_x = π · ₀∫³ (f(x))² dx = π · ₀∫³ (x+3 + 1/(1+x)) dx

f(x) = f(x). Færdig.

#7

Hvad mener du præcist med det?

Jeg bruger self. maple til dette, jeg har fået arealet A til: 9,3333 og rumfanget V til: 94.248.

- Håber jeg har forstået det korrekt, hvis jeg har, så mange gange tak for hjælpen!!

Forresten, her er et link til opgaven, hvis det hjælper lidt med forståelsen :)

http://tinypic.com/view.php?pic=35kkf3t&s=6

#9

Man finder

A(M) = ₀∫³ f(x) dx = ₀∫³ ( (x+1)^1/2 + (x+1)^-1/2 ) dx

                              = [ (2/3)·(x+1)^3/2 + 2·(x+1)^1/2  ]³₀

                              = (2/3)·4^3/2 + 2·4^1/2 - (2/3)·1^3/2 - 2·1^1/2

                              = (2/3)·8 + 2·2 - (2/3) - 2

                              = 14/3 + 2 = 20/3 = 6²/₃ .

V_x = π · ₀∫³ (f(x))² dx = π · ₀∫³ (x+3 + 1/(1+x)) dx

                                    = π · [x²/2 + 3x + ln(1+x)]³₀

                                    = π · (9/2 + 9 + ln(4))

                                    = π · (27/2 + ln(4))

                                    ≈ 46,76667

Bemærk, at man skal beregne de eksakte værdier af arealet A(M) og rumfanget V_x .

#9

Et hurtigt overslag vil vise, at dine værdier ikke er så realistiske.

Funktionen f(x) er voksende på intervallet [0;3] og da f(0) = 1+1 = 2, og f(3) = 2 + 1/2 = 2,5 kan man få et groft overslag over integralerne ved at betragte f(x) som konstant = 2,25 på hele intervallet [0;3] .

Med denne approksimation fås da

A(M) ≈ 2,25·3 = 6,75

og V_x beregnes da som rumfanget af en cylinder med radius r = 2,25 og højde h = 3, dvs

V_x ≈ π·2,25²·3 = 15,1875π ≈ 47,713

som så kan sammenlignes med de eksakte værdier i #11.

#9

Det ser ud til, at du har beregnet arealet som

_-1∫³ f(x) dx = (2/3)·8 + 2·2 = 28/3

men det er en misforståelse at beregne arealet sådan.

Ja okay, jeg kom til at glemme et minus tegn ved det ene 1/2. Maple siger nu: 0∫3 f(x) dx = 20/3, hvilket er approx: 6,6667

Og ved rumfanget: π · 0∫3 (f(x))2 dx = π*(27/2+2*ln(2)), hvilket er approx: 46.766

Mange tak for hjælpen!! :)