Stamfunktion til g

generelt er det meget nemmere at differentierer end at integrere, så når du skal undersøge om f(x) er en stamfunktion til g(x) så kan du nøjes med at differentiere f(x) og så se at det er g(x).

men ellers kan du bruge delvisintegration/partiel integration på g(x). 

Her skal man undersøge, om f er en stamfunktion til g, hvilket gøres ved at vise, f '(x) = g(x).

Enhver funktion af formen f(x) + k er da en stamfunktion til g(x), og man bestemmer så værdien for k ved at

f(1) + k = 3

så hvis du absolut vil integrere

     ∫ g(x)dx = ∫ (4x³•lnx + 5x³)dx = ∫ (4x³•lnx)dx + ∫ 5x³)dx

           1) ∫ (4x³•lnx)dx = x⁴•ln(x) - ∫ x⁴•x^-1dx = x⁴•ln(x) - ∫ x³dx  =  x⁴•ln(x) - (1/4)x⁴     ved parrtiel integration

           2) ∫ 5x³)dx = (5/4)x⁴

     ∫ g(x)dx = x⁴•ln(x) - (1/4)x⁴ + (5/4)x⁴ = x⁴•ln(x) + x⁴ + k

               f(x) er derfor en stamfunktion til g(x)

stamfunktionsprøven

           hvis f '(x) = g(x), er f(x) en stamfunktion til g(x)

dette undersøges

                             f '(x) = (x⁴lnx+x⁴) ' = (x⁴lnx) '  +  (x⁴) ' =  4x³ln(x) + x⁴•x^-1  +  4x³ = 4x³ln(x) + 5x³

               f(x) er derfor en stamfunktion til g(x)

den stamfunktion til g(x), hvis graf går gennem punktet P(1,3)

                   f(x) = x⁴•ln(x) + x⁴ + k  gennem P(1,3)

                   f(1) = 3 = 1⁴•ln(1) + 1⁴ + k

                             3 = 0 + 1 + k

                             2 = k

                   f(x) = x⁴•ln(x) + x⁴ + 2