Matematik
Retnings afledt?
Jeg har en opgave jeg ikke rigtig kan komme i gang med:
Funktionen f : R2 -> R givet som f(x,y) = { 1 for [0 < y < x^2] ... ellers 0 }
Spørgsmål 1: Tegn området hvor f(x,y) > 0
Har lidt svært ved at se de tfor mig, men siden y skal være større end nul, er det over x akslen,, men hvordan beregner og tegner jeg det med y < x^2.
Spørgsmål 2: lad v = ( cos(θ) , sin(θ) ) være en enhedsvektor. Gør rede for at f har retningsafledtet i punktet 0,0 i retningen bestemt ved v, og find Dvf(0,0).
På forhånd tak!
Svar #1
16. marts 2013 af peter lind
Prøv at tegn grafen for y= x2
Funktionen er ikke kontinuert i (0, 0) og dermed ikke differentiabel. Er der ikke begrænsninger på θ ?
Svar #2
16. marts 2013 af JSware (Slettet)
Ikke så vidt jeg kan se, ved stadig ikke hvordan jeg så skal gøre?
Her er opgaven:
http://i49.tinypic.com/15z47th.png
Svar #3
17. marts 2013 af Andersen11 (Slettet)
For at undersøge, om den retningsafledede i punktet x0 i retningen v eksisterer, skal man under søge differenskvotienten
(f(x0 + hv) - f(x0)) / h .
Her er x0 = (0,0), og v = (cos(θ) , sin(θ)) , så
f(h·cos(θ),h·sin(θ)) = 1 , hvis 0 < h·sin(θ) < h2·cos2(θ) = h2 - h2·sin2(θ), og ellers = 0.
Hvis vi kun betragter grænseværdien for h gående mod 0 gennem positive værdier, er der ingen problemer, hvis sin(θ) ≤ 0 , da f(h·cos(θ),h·sin(θ)) = 0 for alle h ≥ 0 .
Hvis sin(θ) > 0 , skal vi undersøge ligningen
h·sin(θ) = h2·cos2(θ)
og vi ser, at den har rødderne h = 0 og h = sin(θ)/cos2(θ) . Vi kan se vort fra tilfældet cos(θ) = 0, idet vi i dette tilfælde har f(h·cos(θ),h·sin(θ)) = 0 for alle h. Vi ser da, at for positive værdier af h < sin(θ)/cos2(θ) er
f(h·cos(θ),h·sin(θ)) = 0 , og grænseværdien for differenskvotienten eksisterer derfor og er lig med 0.
Svar #4
17. marts 2013 af JSware (Slettet)
Mange tak Andersen,
Spørgsmål 1, kan det passe det er 1. og 2. kvadrant, mellem y=0 (men ikke inkluderet) og derefter alt under x^2 grafen.
Svar #5
17. marts 2013 af Andersen11 (Slettet)
#4
Det er det åbne indre område mellem x-aksen og grafen for funktionen f(x) = x2 , hvor aksen og grafen ikke medregnes.
Svar #6
17. marts 2013 af JSware (Slettet)
Mange tak for hjælpen, men hvordan forstås det at hvis vi kun betragter grænseværdien for h gående mod nul gennem positive værdier? og hvorfor er
sin(θ) ≤ 0 , da f(h·cos(θ),h·sin(θ)) = 0 for alle h ≥ 0 .
Svar #7
17. marts 2013 af Andersen11 (Slettet)
#6
Der er kun problemer, hvor retningsvektoren v = (cos(θ) , sin(θ)) peger ind i 1. eller 2. kvadrant.
Hvis sin(θ) ≤ 0 og h ≥ 0 er y = h·sin(θ) ≤ 0, og derfor er f(h·cos(θ),h·sin(θ)) = 0.
Skriv et svar til: Retnings afledt?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.