Frit fald - strækning og tid

Ved konstant hastighed er strækningen proportional med tiden idet

     Δs = v · Δt

Men ved konstant acceleration (altså hvor hastigheden ændrer sig og derved ikke er konstant) er strækningen givet ved

     s(t) = s₀ + v₀ · t + 0.5 · a · t²

Hvis du vil have hele udledningen af denne formel så skriv bare :)

Det kunne jeg godt tænke mig, hvis det er ok, #1. Undskyld, jeg bare møver mig ind i denne samtale :-) 

Det er helt i orden. Vi starter med at opskrive den konstante acceleration ved en retlinjet bevægelse

     a = Δv / Δt = (v - v₀) / Δt

Heri isolerer vi v 

     v = v₀ + a · Δt  (1)

Nu opskrives middelhastigheden for en given strækning i et givent tidspunkt

     v = Δs / Δt

     Δs = v · Δt

     s - s₀ = v · Δt

     s = s₀ + v · Δt  (2)

Middelhastigheden kan dog også udtrykkes som

     v = 0.5 · (v + v₀)  (3)

Altså bare gennemsnittet af start- og sluthastighed. Hvis vi nu indsætter udtrykket fra ligning (1) i ligning (3) får vi nu et nyt udtryk for middelhastigheden

     v = 0.5 · (v₀ + a · Δt + v₀)

     v = 0.5 · (2v₀ + a · Δt)

     v = v₀ + 0.5 · a · Δt  (4)

Endeligt indsætter vi nu udtrykket for middelhastigheden (ligning (4)) i ligning (2) og vi får

     s = s₀ + (v₀ + 0.5 · a · Δt) · Δt

     s = s₀ + v₀ · Δt + 0.5 · a · Δt²

Og skrevet som en stedfunktion bliver udtrykket altså

     s(t) = s₀ + v₀ · t + 0.5 · a · t²

Q.E.D.

:)

Det ser godt ud, men det er ikke helt det jeg søger.

Egentlig tænkte jeg bare på, hvad begrundelsen er for, at strækning og tid ikke er proportionale. Fx har det noget at gøre med, at når strækningen er 0 så vil tiden ikke være 0, når strækning og tid er proportionale, og at man derfor siger at det kvadratet på tiden der er proportional med strækning, da men så vil have en parapbel med toppunkt i (0,0)

Ved ikke helt om det giver mening?

Tror ikke det giver mening:

Det jeg prøver at spørge om er: 

I et frit fald er strækning og tids så proportionale? Hvis de ikke er, hvad er grunden så?

tid*

Grunden til at strækning og tid ikke er proportionale er, at der er tale om en konstant acceleration og ikke en konstant hastighed. Hvis der var tale om en konstant hastighed, så ville strækningen udregnes ved

     s = v · t

hvor det her ses at strækning og tid er proportionale. Men ved konstant acceleration, så strækning og tid ikke proportionale, hvilket kan ses i #3, da strækningen da udregnes ved

     s = 1/2 · a · t²

således er strækningen proportional med kvadratet på tiden og ikke 'bare' tiden. Du kan også se dette enhedmæssigt idet

     [s] = m

     [a] = m/s²

     [t] = s

derfor

     m = 1/2 · m/s² · (s)²

     m = 1/2 · m

Der er altså m(eter) på begge sider. Hvis du nu antager at ved konstant acceleration, så er strækning og tid proportionale, så ville du få et enhedsproblem idet

     s = 1/2 · a · t      (antaget)

     m = 1/2 · m/s² · s

     m = 1/2 · m/s

Der er nu strækning på venstre side, men hastighed på højre. 

:)

Tusind tak skal du have. Det var lige præcis den forklaring jeg søgte, og super fed, enkel og forståelig forklaring qewrett. Tak og atter tak.