Bestem niveaukurven

1. Løs ligningen f(x,y) = c , dvs. (formodentlig)

ln(x² + y²) = c

Tak for dit svar, Torben. 

Der må c > 0, da man ikke kan tage ln til minus. Er det rigtigt?

#2

Nej, det er ikke korrekt. c kan være et vilkårligt reelt tal. Man skal jo ikke tage ln(c) , men af (x²+y²).

Nåh okay. Mange tak for din hjælp :-)

Jeg har lige et til spørgsmål.

Jeg skal bestemme tangentplanen, og jeg har fundet af de følgende tal (se det vedhæftede billede). Men er lidt i tvivl om, hvordan jeg så sammensætter den endelige ligning. Kan du hjælpe med det?

#3

Du skal finde et simplere udtryk eller beskrivelse for niveaukurven i spm 1.

2. Fladen z = f(x,y) har i punktet (x , y , f(x,y)) en tangentplan med normalvektor

n = (-∂f/∂x , -∂f/∂y , 1)

Det forstår jeg ikke helt.

Kommer normalvektoren så til at hedde,

n = (-2 , 0 , 1)

For i denne ældre eksamensopgave (http://web.econ.ku.dk/polit/studerende/eksamen/opgrv/filer/rv%20Mat%20B%20VR12-13.pdf) bliver resultatet

z = 1 + 4(x − 1) = 4x − 3:

Altså det er en anden opgave, men da også et helt anderledes svar.

#6

Start med at beregne de partielle afledede ∂f/∂x og ∂f/∂y og beregn så deres værdier i det aktuelle punkt, som tilsyneladende er (x,y) = (1;0) .

f(x,y) = ln(x²+y²) ,

∂f/∂x = 2x / (x²+y²) , ∂f/∂y = 2y / (x²+y²) ,

så det ser ud til, at din normalvektor er korrekt. Ligningen for planen er dog ikke korrekt.

Mange tak for hjælpen! Den har været rigtig godt.

Jeg har lige et sidste spørgsmål, også tier jeg stiller :-)

Er det differentieret af (1+x^2+y^2)^2 = 2(1+x^2+y^2)*2x mht. x?

#9

Spørger du, om den afledede af (1+x²+y²)² med hensyn til x er lig med 2·(1+x²+y²)·2x ? Svaret hertil er "ja".

Ja, det var præcis det jeg tænkte. Mange tak for hjælpen :-)

Hej @Andersen11

Jeg har lige et sidste spørgsmål, som jeg har siddet og revet mig i håret af.

Der står, at jeg skal forklar, at funktionen f har både en største- og en mindsteværdi på K(r₁, r₂).

Og er lidt i tvivl om, hvad jeg skal gøre. 

For normalt skal jeg vel finde de stationære punkter til den partiel afledede, og herefter dobbelt partiel afledede mht. x og herefter indsætte de stationøre punkter, og se om den dobbelt partiel afledede mht. x er større og mindre end 0. Men det giver ikke rigtig noget resultat her.

Håber du kan hjælpe. På forhånd tak!

#12

De stationære punkter angiver mulige punkter i det indre af definitionsmængden, hvor funktionen kan have et lokalt ekstremum. Mængden K(r₁,r₂) er den afsluttede cirkelring med centrum i (0,0) og med indre og ydre radius r₁, hhv. r₂. Da mængden er afsluttet, skal man undersøge dens rand særskilt.

Okay. Må indrømme, at jeg stadig er lidt i tvivl med netop denne:

{ (x, y) ∈ R² | r²₁ <= x² + y² <= r²₂}.

For havde den fx set således ud:

{ (x, y) ∈ R² | 1<= x <= 3 ? -2 <= y <= 1} 

Vil jeg nemt kunne dele den op i fire delmængder, og derefter udregne de givne funktionsværdier.

Men er i tvivl når den ser ud som ovenstående. Vil du kunne give et hint? 

#14

Som nævnt i #13 er mængden K(r₁,r₂) en afsluttet cirkelring. Dens rand består af de to cirkler med centrum i (0,0) og med radier r₁, hhv. r₂ . Man skal derfor undersøge funktionen på disse to cirkler. Det burde ikke volde problemer, for du burde for længst have observeret, at niveaukurverne for funktionen f(x,y) netop er cirklerne med centrum i (0,0). På en cirkel med centrum i (0,0) og radius r er funktionen f(x,y) konstant med funktionsværdien ln(r²) , og niveaukurven for niveauværdien c er cirklen med centrum i (0,0) og med radius e^c/2 . Da ln(r²) er en voksende funktion af r, er det klart, at funktionen f(x,y) antager både et minimum og et maksimum på mængden K(r₁,r₂) .

Okay. Mange tak for det, Andersen :-)