Matematik
Optimering af cylinder
Hej
Jeg har en opgave, der går ud på at fnde ud af hvad dimensionerne for en cylinder med et rumfang på 0,6 L skal være for at overfladearealet er mindst muligt. Jeg er ikke helt sikker på hvordan jeg gør.
Rumfang af en cylinder: V=r^2*pi*h
Overfladeareal: A=2* pi *r*(h + r)
Svar #1
06. april 2013 af peter lind
I rumfangsformlen isoler h og sæt resultatet in i formlen for overfladearealet. Du har nu arealet som funktion af r alene. Find optimum for denne funktion på sædvanlig måde
Svar #2
06. april 2013 af lfdahl (Slettet)
V = π r2 h ⇒ h = (V/π) r-2, som du indsætter i A = 2 π r (h + r) ⇒ A = A(r) = 2 π r ((V/π) r-2 + r)
= 2 π (k r-1 + r2), k = V/π
A'(r) = 2 π (-k r-2 + 2 r)
A'(r) = 0 ⇒ 2 r - k r-2 = 0 ⇒ 2 r3 = k ⇒ r = (k/2)1/3 = [V/(2π)]1/3
Svar #3
07. april 2013 af Krabasken (Slettet)
r = x ........ h = 600 / (π*x2) .............. Vi regner i cm (og cm3)
A(x) = 2 * π * x * (600/(π*x2) + x) = 2*π*600/(π*x) + 2*π*x2 =
1200/x + 2*π*x2 = 1200x-1 + 2*π*x2
A' = 4*π*x - 1200/x2 = 0
x3 = 300/π
x = 4,571
Skitse vedhæftet
:-)
Svar #4
07. april 2013 af Andersen11 (Slettet)
Højden for cylinderen med minimalt overfladeareal er så
h = 600 / (π·r2) = 600 /(π·(300/π)2/3) = 2 · 3001/3 / π1/3 = 2 · (300/π)1/3 = 2·r .
Cylinderens højde er altså lig med diameteren i det cirkulære tværsnit.
Svar #5
07. april 2013 af Krabasken (Slettet)
- Glimrende supplement
Vi kender det jp fra industriens konservesdåser . . .
;-)
Skriv et svar til: Optimering af cylinder
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.