eksponentiel funktion

Indsæt de opgivne data for P i formlen. Det giver 2 ligninger med 2 ubekendte a og b. Dividerer du de 2 ligninger med hinanden går b ud, så du har en ligning med den ubekendte a

det forstår jeg ikke 

Kan det passe, at a = 0,97     og     b = 108,21 ???

P:   v = 32 · (5,4/32)^{(t-40)/(100-40)} 

Q:   v = 78 · (9,4/78)^{(t-40)/(100-40)} 

- Jeg kan ikke få de to grafer til at skære hinanden . . .

#6

Man skal løse ligningen

32 · (5,4/32)^{(t-40)/(100-40)}  = 78 · (9,4/78)^{(t-40)/(100-40)}  ,

dvs.

(t-40)/60 = log(78/32) / log(5,4·78/(32·9,4))

                = log(78/32) / (log(5,4/9,4) + log(78/32))

                = 1 / (1 + log(5,4/9,4)/log(78/32)) ,

og dermed

t = 40 + 60 · log(78/32) / log(5,4·78/(32·9,4)) = 198,789

# 7

Det overstiger mine evner at se, hvordan du når til udtrykkene i # 5, men de to funktioner i # 4 (som jo da er korrekte) har intet fællespunkt ifølge både Geogebra og Graph - og min CAS siger, at differensen mellem dem er nul ved 479 komma et-eller-andet, hvor de begge er tæt på nul  . . .

;-)

#6

Der er skæring.

#8

Udtrykkene i #5 er den umiddelbare logiske konsekvens af opgavens oplysninger, og de er fuldt konsistente med udtrykkene i #4.

En eksponentialfunktion f(x) = b · a^x , der går gennem de to punkter (x₁ , y₁) og (x₂ , y₂) vil have forskriften

f(x) = y₁ · (y₂/y₁)^{(x-x₁)/(x₂-x₁)}

Ja - tilsyneladende - men det er ikke de samme funktioner som i # 4, det er tydeligt at se.

Jeg må sætte mig ned en dag og lure, hvordan du kommer frem til de besynderlíge funktioner i # 5, som åbenbart - til forskel fra dem i #4, som altså ikke vil mødes - har et klart skæringspunkt.

Men tak - der ligger et research-job og venter på mig dèr !

#11

Det er helt de samme funktioner i #4 og #5. Jeg har regnet dem begge i Excel. Med konstanterne i #4 bliver der tale om afrundingsfejl i 5.-6. decimal, men funktionerne i #4 skærer hinanden meget tæt ved den samme temperatur, hvor graferne i #5 skærer hinanden.

Tjek for tastefejl i dine udtryk.

Det vil jeg gøre - imorgen . . .

Tak for snakken  ;-)

Tager man udtrykkene i #5

P:  v = 32 · (5,4/32)^{(t-40)/(100-40)}  ,

er   b = 32 · (5,4/32)^-40/60 = 32 · (32/5,4)^2/3 = 104,7902293...

og  a = (5,4/32)^1/60 = 0,9707798...

og for

Q:   v = 78 · (9,4/78)^{(t-40)/(100-40)} 

er  b = 78 · (9,4/78)^-40/60 = 78 · (78/9,4)^2/3 = 319,6973984...

og  a = (9,4/78)^1/60 = 0,96534797...

helt i overensstemmelse med #4.

- Det er vejen TIL udtrykkene i # 5, der er svær at se - men jeg researcher til jeg har luret dig!

;-)

#15

Den går via #10. Af udtrykket

f(x) = y₁ · (y₂/y₁)^{(x-x₁)/(x₂-x₁)}

aflæser man de sædvanlige udtryk for konstanterne

a = (y₂/y₁)^{1/(x₂-x₁)} , og

b = y₁ · (y₂/y₁)^{-x₁/(x₂-x₁)} = y₁ · a^-x₁

Arrrhhhh - det er da klart!

HEUREKA!

Det er jo den velkendte formel i en lidt hurtig forklædning - men som du rigtigt skriver - det står jo i # 10

- Som jeg jo bare lige havde overset.. . .

Nu skal jeg så blot finde ud af, hvorfor den oprindelige f(x) -g(x) ingen rødder har på mine maskiner.

Men TAK FOR SANGEN!

Og Godnat - ;-)