Bestem 2.gradspolynomiet

Indsæt de tre punkters koordinatsæt i forskriften f(x) = ax² + bx + c , hvorved man får tre ligninger til bestemmelse af de tre konstanter a, b og c.

Benyt her, at x₂ = (x₁ + x₃) / 2

funktionen har formen y = a*x²+b*x+c

Indsæt de 3 punkter i funktionsudtrykket. Det giver 3 ligninger med de 3 ubekendte som du må løse. Træk den anden linje fra den tredje og den  første fra den anden så du kan udnytte oplysningen  om differencerne mellem x koordinaterne

#1 og #2

Tak til jer begge. Jeg synes, at løsning #1 er lettest, når et CAS værktøj er tilladt.

Okay,

CAS værktøjet crasher, når punkterne er ukendte.

Hvis dette skal regnes i hånden, bliver det som i #2?

#4

Opstil ligningerne som anvist i #1 eller #2 og løs dem. Sæt

x₂ - x₁ - x₃ - x₂ = h .

man har så

y₁ = f(x₁) = ax₁² + bx₁ + c ,

y₂ = f(x₂) = f(x₁+h) = f(x₁) + ah·(h+2x₁) + bh

y₃ = f(x₃) = f(x₁+2h) = f(x₁) + 4ah(h+x₁) + 2bh .

Man har altså ligningssystemet

ah·(h+2x₁) + bh = y₂ - y₁

4ah(h+x₁) + 2bh = y₃ - y₁

i a og b . Heraf ser man, at

2ah² = (y₃ - y₁) - 2(y₂ - y₁) = y₁ + y₃ - 2y₂

#5

Hvordan kommer du frem til idéen om:

x₂ - x₁ - x₃ - x₂ = h?

Jeg røg rimelig væk, når du opstiller ligningssystemerne. Hvad gør du der?

#6

OK. Det var en tastefejl for

x₂ - x₁ = x₃ - x₂ = h .

Dermed er

x₂ = x₁+h    og    x₃ = x₁+2h .

#7

Fint.

Kan du forklare, hvordan du laver:

y₂ = f(x₂) = f(x₁+h) = f(x₁) + ah·(h+2x₁) + bh

Det er mere efter det sidste lighedstegn.

Og til sidst kommer du frem til et udtryk. Hvordan kom du frem til det?

#8

Det er meningen, du selv skal regne med på papir ved siden af:

f(x₁+h) = a·(x₁+h)² + b·(x₁+h) + c = a·(x₁² + h² + 2x₁·h) + b·(x₁+h) + c

             = a·x₁² + b·x₁ + c + a·(h² + 2x₁·h) + b·h

             = f(x₁) + a·h·(h + 2x₁) + b·h

#9

Det er forstået.

Spørgsmålet er så, hvordan vi skal tolke det sidste udtryk?

Kan vi definere nogle størrelser (a, b eller c) nu?

#10

I #5 har jeg givet dig en ligning til sidst, der direkte beregner a:

a = (y₁ + y₃ - 2y₂) / (2h²)

Man kan så benytte ligningen

ah·(h+2x₁) + bh = y₂ - y₁

til at bestemme b, og endelig bestemmes c af den første ligning

ax₁² + bx₁ + c = y₁ .

#11

Tak.

Som det sidste, skal det eftervises, at sekanthældningen mellem punkterne P1 og P3 er lig f'(x₂).

Betyder det så, at f'(x₂) skal være lig

(y₃ - y₂) / (x₃ - x₁)?

#12

Nej, det skal være

(y₃ - y₁) / (x₃ - x₁) = (y₃ - y₁) / (2h)

#13

Tastefejl, beklager.

Tak for hjælpen! :-)

#14

Det sidste resultat ses næsten umiddelbart ved at benytte den sidste ligning i ligningssystemet i #4:

4ah(h+x₁) + 2bh = y₃ - y₁

idet venstresiden jo er lig med 2h·f '(x₂) .