Matematik

Eksponentielle funktioner

16. oktober 2005 af Norn (Slettet)

Hmm... Er der nogen der ved, hvorfor man ikke kan udtrykke fx. (-1)^(kvrod(2)) som et reelt tal?

Og hvordan regner man manuelt noget som 2^1,46? Et link er fint :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. oktober 2005 af Duffy

Fordi det er et KOMPLEKST TAL

(-1)^(sqrt(2)) = -0.2663 -0.9639i

Duffy

Svar #2
17. oktober 2005 af Norn (Slettet)

Nemlig det... Men hvorfor? Hvorfor er (-1)^(2,48) ikke et komplekst tal, når (-1)^(2,46) er?
Hvad er det der gør at det bliver et komplekst tal?

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Jeg skal prøve at gøre en lang historie kort.

Helt generelt gælder

x^y = exp(y*ln(x))

Indskrænker vi os til at betragte de reelle tal, må vi således kræve at x>0, thi dette er logaritmefunktionens definitionsmængde. Altså, hvis både x og y er reelle, så skal x være positiv for at x^y har mening.

Derfor må man bevæge sig udenfor de reelle tal, såfremt man ønsker at beregne størrelser som (-1)^sqrt(2).

Tillader vi både x,y E C (de komplekse tal), så er både ln(x) og exp(y) definerede, men ikke entydige. Det skal forståes således at samme værdi i kan afbildes i forskellige værdier, idet ln(x) og exp(x) er periodiske for komplekse argumenter. Derfor er svaret i #1 faktisk ikke fyldestgørende idet man skal foretage et snit i den komplekse plan for at opnå entydighed.

Svar #4
17. oktober 2005 af Norn (Slettet)

Hvorfor er (-1)^(2,48) så ikke et komplekst tal, når (-1)^(2,46) er?

Hvad gør exp()-funktionen?

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. oktober 2005 af Duffy

Hvorfor er (-1)^(2,48) så ikke et komplekst tal, når (-1)^(2,46) er?

Hvorfor skulle (-1)^(2,48) ikke være et komplekst tal?

(-1)^(2,48) = 0.06279 + 0.998i

altså netop et komplekst tal.

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#4 Jamen, læs nu #3. Der står hvorfor:

(-1)^(2.48) "=" exp(2.48*ln(-1))

og den går ikke inden for de reelle tal, da ln(x) kun er defineret for x>0.

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. oktober 2005 af allan_sim

#6. Måske spørgeren undrer sig, fordi en TI-83 eller lignende spytter 1 ud som resultat, hvis man indtaster (-1)^2,48?

Svar #8
17. oktober 2005 af Norn (Slettet)

nemlig det :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
18. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#8 Skal #2 så forstås således, at din lommeregner kan regne ud, at (-1)^2.46 er komplekst, men ikke kan regne ud at (-1)^2.48 også er? Det giver jo slet ikke mening.

Svar #10
18. oktober 2005 af Norn (Slettet)

Ja, det er lige præcist sådan det skal forstås.

Lige for at vende tilbage til noget andet:
"hvis både x og y er reelle, så skal x være positiv for at x^y har mening."

Så det du siger, er faktisk at følgende ikke har mening?!

(-4)^2 = 16

Brugbart svar (0)

Svar #11
18. oktober 2005 af frodo (Slettet)

det jeg tror fixer mener, er at hvis vi betragter funktionen x^y, må vi sige at x>0, såfremt vi ikke vil have yderligere begrænsninger på y end at det er reelt.

det er klart at visse udtryk har mening, men fx (-1)^1,5 har jo ikke mening, idet dette ville involvere kvadratrodsuddragelse af -1, hvilket som bekendt ikke kan lade sig gøre.

vi kan godt definere en funktion x^y, hvor x E R, men da må vi kræve at y E Z

gav det mening? Gik vist lidt hurtigt

Brugbart svar (0)

Svar #12
18. oktober 2005 af Duffy

Ej, stop nu!!

Selvfølgelig har udtrykket

(-4)^2 = 16

mening.

(-4)^2 = (-1·4)·(-1·4) =

(-1)·(-1)·4^2 = (-1)·(-1)·16 = ...

vi mangler så blot at vise at
"minus gange minus gir plus";

det er let vist via de komplekse tal:

e^(pi*i) = -1 .

(-1)·(-1) = e^(pi*i)·e^(pi*i) =

[e^(pi*i)]^2 = e^(2pi*i) = e^(0*i) =

e^(0) = 1

Der findes en lettere måde at "vise"
at "minus gange minus gir plus", men
det overlades til dig at overveje hvordan.

Norn! hvad med at vente til du får om komplekse tal i din klasse?

---

Well,...nåh, ikke?!

D E F I N I T I O N

For et komplekst tal z = x + iy, defineres

e^z = e^(x+iy) = e^x(cosy+isiny).

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Det virker i det relle tilfælde:

e^(x+i·0) = e^x(cos0+isin0) = e^x .

I det "rent" komplekse tilfælde:

e^(0+iy) = e^0·(cosy+isiny) = cosy + i·siny

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #13
18. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#10 Nej, det har jeg aldrig sagt. Jeg siger præcist hvad #11 har forstået, nemlig at hvis y kan antage alle reelle værdier, så har x^y ikke mening indenfor de reelle tal, medmindre x>0.

Svar #14
19. oktober 2005 af Norn (Slettet)

#12 hmm... Jeg venter lidt :) Ellers tak. Og jo selvfølgelig har (-4)^2 mening!

#9
"#8 Skal #2 så forstås således, at din lommeregner kan regne ud, at (-1)^2.46 er komplekst, men ikke kan regne ud at (-1)^2.48 også er? Det giver jo slet ikke mening."
Så det er altså en fejl i lommeregneren?

#11
"men fx (-1)^1,5 har jo ikke mening, idet dette ville involvere kvadratrodsuddragelse af -1, hvilket som bekendt ikke kan lade sig gøre."

Hmm... Ved du hvordan du kommer frem til den kvadratrodsuddragelse af -1?

Et andet eksempel: 2^(1,5). Hvordan regnes det ud? Er der en metoden ala: 2^3= 2*2*2 eller 2^(-3) = 1/(2*2*2)?

(jeg ved stadig ikke hvad exp()-funktionen gør)

Tak for hjælpen indtil nu :)

Svar #15
19. oktober 2005 af Norn (Slettet)

Forresten! Jeg ønsker at finde toppunkt til nedenstående funktion:
f(x)=(1+1/10^x)^x
Først differentiere jeg den og får:
f'(x)=((1/10)^x*ln(10^x+1)+(ln(1/10)x-(ln(10)x)/(10^x+1))*(1/10)^x^2)*(10^x+1)^x
Når jeg så sætter det lig nul og løser for x for at finde vendetangenten får jeg "false" fra min grafregner :S Ret fustrerende! Hvorfor?
Toppunktet ligger i x = 0,5.

Lad vær med at bruge for lang tid på det... Jeg undrer mig bare lidt :) Og håber på en fornuftig forklaring

Brugbart svar (0)

Svar #16
19. oktober 2005 af frodo (Slettet)

(-1)^1,5=(-1)^(3/2)=((-1)^3)^(1/2)=(-1)^(1/2)=sqrt(-1), der ikke har mening indenfor de reelle tal. Indenfor de komplekse er dette det mest fundamentale, nemlig den imaginære enhed i.

gemene regneregler for brøk-eksponenter

x^(a/b)= "den b'te rod af x opløftet i a" = (x^a)^(1/b)=(x^(1/b))^a

f(x)=exp(x)=e^(x)

Brugbart svar (0)

Svar #17
19. oktober 2005 af frodo (Slettet)

#15: præcision!

Er der tale om f(x)=(1+1/(10)^x)^x eller
f(x)= (1 + (1/10)^x)^x ?

Brugbart svar (0)

Svar #18
19. oktober 2005 af Esmil (Slettet)

Det gælder helt generelt, at

x^(a/b) = (b. rod af x)^a,

så 2^(3/2) = (kvadratrod 2)^3

Det giver også god mening, da

(kvadratrod 2)^3 = (2^(1/2))^3 = 2^(1/2 * 3) = 2^(3/2)

Svar #19
19. oktober 2005 af Norn (Slettet)

... f(x)=(1+1/(10^x))^x ellers måtte der jo være parentes om (1/10)^x

Svar #20
19. oktober 2005 af Norn (Slettet)

#16+#18 ah ja! Det er klart :)
Tak tak!

Forrige 1 2 3 Næste

Der er 42 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.