3 og 4 grads polynomium

Et polynomium P_n af grad n har højst n rødder.

Du kan konstruere polynomiet med de rødder, du vil have med.

Et 3.gr. polynomium med rødderne  x₁ x₂ x₃  ser sådan ud: 

P₃(x)  =  a(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)

Et 4.gr. polynomium med rødderne  x₁ x₂  kan se sådan ud:

P₄(x)  =  a(x - x₁)(x - x₂)(x² + 1)    Den sidste parentes sikrer, at der kun er de to rødder, og at graden af P₄ er 4.

Når der differentieres, bliver graden altid én mindre.

7.gradspolynomiet kan altså højst have 6 ekstrema.

#0:  Du kan ikke et reelt 3. grads polynomium med netop 2 reelle rødder, da polynomiet så skulle skrives:

P₃ = a(x - x₁)(x - x₂)(x - z) , hvor z er et komplekst tal med imaginærdel ≠ 0.

Du kan ikke skrive polynomiet med reelle koefficienter.

#2 What ?! Følgende trediegradspolynomium P(x)=x²(x+1) har har da kun to rødder ...

okaaaaay.... kan I skære det mere ud i pap? bliver ret forvirret med p4(x)=a(x-x1)(x-x2)(x^2+1) Kan I komme med et eks. med tal og ikke x'er? :)

#3:   Af pragmatiske grunde ville jeg sige, at der er tre rødder:

Dobbeltrod for x = 0

Rod for x = -1

Det pragmatiske ligger bl.a. i, at hvis man ikke ved f.eks. Laplace-transformation  ( rodkurver ) holder regnskab efter denne tællemetode, så går det galt.

En anden betragtning er, at hvis man har fundet en rod i et polynomium, kan man dividere polynomiet med ( x - rod ). Man kan så finde resterende rødder i resultatet, f.eks:

x²(x+1)

1. rod fundet:  x = -1

x²(x+1) / (x+1) = x²

2. rod fundet: x = 0

x² / ( x-0 ) = x

3. rod fundet: x = 0

x / ( x-0 ) = 1         ( ikke flere rødder )

#4:   Eksempel:

p₄(x)=2(x-1)(x-2)(x²+1)       ( Brug nulreglen )

x = 1  eller x = 2

De sidste to muligheder ligger nu i at sætte leddet 

( x² + 1 ) = 0    ⇒

x² = -1      ( der findes ingen reel løsning til denne ligning og p₄(x) har derfor kun to reelle rødder )

#5 i #0 står "Jeg har næsten kun haft om 2. grads ......."! Det er derfor næppe forventeligt, at vedkomne kender til multiplicitet af rødder?

præcis #7 ;)

Tak for jeres hjælp og ikke mindst tid! Det er virkeligt dejligt at I gider besvarere spørgsmålet!

Jeg har fundet et eksempel med billeder af grafer, som jeg vil prøve at forklare lidt om... men skal vi ikke alle krydse fingre for, at jeg ikke trækker spørgsmål 7, hvor dette indegår? :D