Definition: differentialligning

Der vil altid indgå en ukendt funktion og mindst en af de afledede. Formelt behøver der kun at indgå de afledede men det sker meget sjældent. Jeg ved ikke hvad du mener med den sidste sætning. Som nævnt vil der altid indgå en ukendt funktion men navnet på funktionen er selvfølgelig ligegyldig

To eks. på definitioner:
1) 'En differentialligning er en ligning, hvori en funktion y=f(x) og dens afledede indgår...'

2) 'En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en eller flere differentialkvotienter f'(x), f''(x),... fⁿ(x). Differentialligninger kan være af 1. orden...' 

I nr. 1 er funktionen (det med fed skrift) nævnt, mens i nr. 2 ser det ikke ud til, at den ukendte funktion er et krav, (dvs. den skal ikke optræde i ligningen), så længe ligningen indeholder en afledet funktion, er den en differentialligning?

Ligesom vi har et algebraisk udtryk, hvor x er ukendt                                      a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀  =  0

har vi differentialligningen, hvor hele funktionen  f(x) = y  er ukendt              a_ny⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^(n-1) + ... + a₁y' + y  =  0

hvor  y⁽ⁿ⁾  er den n'te afledede funktion af y .

Der findes andre typer af differentialligninger end ovenstående. Det er blot for at vise eksempel på analogien med det kendte polynomium. 

Der er en grund til de to definitioner.

I starten lærer man om differentiation af funktioner med 1 variabel, f(x). Hvis man her har en differentialligning, hvor f(x) ikke forekommer, men f'(x) forekommer, kan problemet opdeles i to:

   1. Erstat f'(x) med g(x) og løs den femkomne ligning.

   2. Find f(x) som stamfunktion til g(x).

Set ud fra dette vil en ligning som f'(x) = 3x+5 ikke være en differentialligning, blot et oplæg til at finde stamfunktion.

Senere lærer man at differentiere funktioner med flere variable, f. eks. f(x,t). Her kan der optræde ligninger, der ikke indeholder funktionen selv, men kun sammenhængen mellem de afledte, f. eks.

   ∂²f(x,t)/∂t² = -k ∂²f(x,t)/∂x².

Ligningen her er differentialligningen for bølger, der udbreder sig i 1 dimension.

#2

Hvis kun funktionen f(x) og dens differentialkvotient f '(x) indgår i differentialligningen, kaldes ligningen en differentialligning af 1. orden.

Hvis der også indgår afledede af højere orden end 1, dvs. for eksempel f ''(x), f '''(x), ... f⁽ⁿ⁾(x), kaldes ligningen en differentialligning af orden n.