Matematik
en opgave som jeg næsten er færdig med.
En pyramide har kvadratisk grundflade i xy-planen med hjørnerne A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0) og D(2,2,0). det oplyses at toppunktet har positiv z-koordinat og at alle skrå kanter har længden sqrt(11).
a) bestem pyramidens højde og koordinatsættet til toppunktet.
b) Bestem vinklerne i trekanten ABT
vis at planen med ligningen 3y-z=0 indeholder sidefladen ABT
c) Bestem toplandsvinklen mellem pyramidens grundflade og en sideflade.
d) bestem centrum og radius i pyramidens omskrevne kugle
e) bestem centrum og radius i pyramidens indskrevne kugle det vil sige den kugle der har alle 4 sideflader som tangentplaner til kuglen.
løsning.
a)
højden = 3
T(1,1,3)
b)
T = 35.10 grader
A = B = (180-T)/2 = 72.45 grader
har vist at planen med ligningen 3y-z=0 indeholder sidefladen ABT
c)
71,57 grader
d)
C(1,1,7/6)
r = 11/6
e)
har så bare store problemer med at finde centrum og radius i pyramidens indskrevne kugle
C(1,1,z), z>0
Så går jeg ud fra at afstanden fra C til planen ABT og afstanden fra C til BDT skal være den samme.
planen ABT = 3y-z=0
så har jeg fundet planen for BDT til at være BDT= 8x-12= 0
så har jeg prøvet at sætte afstanden fra C til planen ABT og afstanden fra C til BDT lig med hinanden og finde z på den måde men det gik ikke.
Er der nogen som har en god ide til at finde z.
Håber at der er nogen som har tid til at kigge på e.
mvh.
Christina nilsen
Svar #1
25. oktober 2005 af fixer (Slettet)
https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=134214&h=pyramide
Svar #2
25. oktober 2005 af E=m*c^2 (Slettet)
Den indskrevne kugle tangerer alle 5 sideflader. Der skal altså gælde, at afstanden fra dens centrum C vinkleret ud til enhver af sidefladerne skal være den samme for alle sidefladerne.
Af samme grund som i e) må også denne kugles centrum ligge på symmetriaksen og have koordinater på formen C(1,1,c), c>0.
Afstanden mellem C og grundfladen ses umiddelbart at være c. Afstanden mellem C og sidefladen ABT kan findes, idet vi i b) har fundet en ligning for den plan, der indeholder treaknt ABT til 3y-z=0.
Opskrives ligningen på normalformen
(3y-z)/2 = 0
vil indsættelse af punktet C direkte give afstanden mellem planen og C. Da denne afstand skal være den samme som mellem C og grundfladen, haves ligningen
(3*1-c)/2 = c <=>
c = 1
Kuglens centrum er altså C(1,1,1). Radius ses umiddelbart at være r=1.
-------------------------
det er det du mener ikke
hvordan kommer du så frem til det
Opskrives ligningen på normalformen
(3y-z)/2 = 0
altså at det skal divideres med to!
Svar #3
25. oktober 2005 af fixer (Slettet)
p: ax+by+cz+d = 0 (*)
siges at være på normalform, dersom vektoren n med koordinaterne (a,b,c) er en enhedsvektor. Normalformerne dannes altså af (*) ved division med +/- |n| = +/-sqrt(a^2+b^2+c^2). Det er på denne måde 2-tallet i nævneren fremkommer.
Svar #4
26. oktober 2005 af E=m*c^2 (Slettet)
ved at sætte d=r
hvor d er afstanden fra ABT til C!
d=lax+by+cz+dl / sqrt(a^+b^2+c^2)
så for du r til at være:
r=3/4
C(1,1,3/4)
men det passer ikke helt med fixer så jeg ved ikke helt hvem der har ret!
Svar #6
27. oktober 2005 af E=m*c^2 (Slettet)
du kan også finde centrumen på følgende måde:
ved at sætte d=r
hvor d er afstanden fra ABT til C!
d=lax+by+cz+dl / sqrt(a^+b^2+c^2)
så for du r til at være:
r=0,720759
og C(1,1,0.720759)
det her burde være rigtigt jeg har prøvet at tjekke det.
Svar #7
27. oktober 2005 af fixer (Slettet)
p: 3y-z = 0
er
p: (3y-z)/sqrt(3²+1²) = (3y-z)/sqrt(10) = 0
Idet centrum må have formen C(1,1,c) ledes vi altså til at løse ligningen
(3*1-c)/sqrt(10) = c <=>
c = 3/(1+sqrt(10))
Skriv et svar til: en opgave som jeg næsten er færdig med.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.