Matematik
Familie af funktioner.
Håber på hjælp til nedenstående opgave. Den lyder:
En familie af funktioner er givet ved
fa(x)=x^3+3x^2+ax
1) Vis at alle funktionerne i familien går igennem det samme punkt.
2) Bestem de værdier af a for hvilke fa har to lokale ekstremumssteder
Til nr. 2 har jeg tænkt på, om man skal benytte, at f´(x)=0 ved lokal ekstremum.
f´(x) = 3x^2+6x+ax
Kan man så isolere a i ligningen 3x^2+6x+ax = 0?
Så man får:
a = (-3x^2-6x)/x = -3x-6
Og dette resultat indsættes så i 3x^2+6x+ax
Endelig isoleres x??
Måske er det helt forkert, men kan ikke lige se, hvordan jeg skal gøre. Til etteren er jeg helt blank!
På forhånd tak
Svar #1
27. oktober 2005 af Esmil (Slettet)
Altså skal du finde et x, så fa(x) = y, for alle a.
Hvis du ser på forskriften for fa vil du se, at du altså skal finde et x at gange på a, så resultatet ikke afhænger af a.
Der er faktisk kun et reelt tal x, der opfylder at ax = c for alle a og et fast c.
Hmm, nu kan jeg ikke lige finde på flere hints..
Svar #2
27. oktober 2005 af Snemanden (Slettet)
Hmm, er det så løsningen??
Tror ikke jeg er helt med på opgaveformuleringen så :(
Er min ide til at løse opg. 2 ok?
Svar #3
27. oktober 2005 af fixer (Slettet)
Nej lad være med det. Det eneste du opnår er udsagnet 0=0 (prøv at foretage den substitution du foreslår).
Da f_a(x) tydeligvis er differentiabel i hele R må eventuelle ekstremumspunkter søges blandt de punkter hvori f_a'(x)=0.
Dette indebærer løsning af en andengradsligning
f_a'(x) = 3x^2+6x+a = 0 (*)
Vi er på udkig efter de værdier for a, for hvilke f_a(x) har 2 esktremumspunkter. Dette kan kun lade sig gøre dersom (*) har netop to løsninger, hvilket er tilfældet såfremt den til andengradsligningen svarende diskriminant er positiv
d = 6^2-4*3*a > 0 (**)
hvilket giver en betingelse for a. Dermed er bestemt de værdier for a, for hvilke f_a(x) k a n have to ekstremumspunkter. At der rent faktisk e r tale om ekstremumspunkter følger af fortegnsvariationen for f_a'(x).
Det grafiske billede af f_a'(x) er en parabel med grenene opad. Løsningerne til ligningen f_a'(x)=0 er altså netop førstekoordinaterne til parabelens skæring med x-aksen. Altså er f_a'(x) positiv på den ene side og negativ på den anden side af ethvert af disse punkter. Men heraf følger at løsningerne til ligningen f_a'(x) rent faktisk e r ekstremumspunkter.
Svar #4
27. oktober 2005 af Esmil (Slettet)
Det er helt rigtigt, at f har lokale ekstrema der, hvor f'(x) = 0.
Det vil altå sige, at vi jagter de a, hvor fa'(x) har netop to nulpunkter.
Du laver lige en lille fejl når du differentiere fa:
fa'(x) = 3x² + 6x + a
fa' er altå bare en helt almindelig parabel/andengradsligning.
Hvornår er det nu lige den har netop 2 nulpunkter? Det kan man vist afgøre vha. discriminanten (er det sådan det staves?).
Svar #5
27. oktober 2005 af Esmil (Slettet)
Hvad med i stedet at vælge x = 0?
Så er a*0 = 0 for alle a ikke?
Svar #6
27. oktober 2005 af Snemanden (Slettet)
Jeg får følgende resultater:
1) Alle går gennem punktet (0,0)
2) Der gælder, at a skal være mindre end 0
Svar #7
27. oktober 2005 af Esmil (Slettet)
2) Ahh.. hvis du sætter a=2 så er (**) i #3 da stadig opfyldt, for
d = 6² - 4*3*2 = 12 > 0
Svar #8
27. oktober 2005 af Snemanden (Slettet)
d=36-12a>0
a
a
Mange, mange tak for hjælpen... Nu kan jeg klare det selv næste gang :)
Svar #9
06. december 2005 af pellepeter (Slettet)
Skriv et svar til: Familie af funktioner.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.