At beregne grænseværdi

Man er sikkert i gang med at undersøge, om funktionen 2^x er differentiabel i x = 0 . Dertil opstiller man differenskvotienten ud fra x = 0 med tilvækst h, der er

(2^h - 2⁰) / h = (2^h - 1) / h .

Undersøg nu, om differenskvotienten har en grænseværdi for h gående mod 0.

Hvis man kan benytte, at e^x er differentiabel, gør det hele opgaven nemmere.

Da både tæller og nævner går mod 0, kan du bruge L'Hospitals regel. Den siger, at du finder grænseværdien ved at differentiere tæller og nævner og så tage grænseværdien.

lim_h->0 (ln2*2^h)/1 = ln2

#2

Brøken er jo differenskvotienten for 2^x ud fra x = 0 . Hvis man ved, at 2^x er differentiabel, er der ingen grund til at gå til l'Hôpital, da grænseværdien jo er differentialkvotienten af 2^x for x = 0 , dvs.

f(x) = 2^x = e^x·ln(2) , så

f '(x) = (2^x)' = ln(2)·2^x , og

dermed er

lim_h→0 ((2h-1)/h) = f '(0) = ln(2)