Matematik

Plan i rummet ( 3.092 A+ )

31. oktober 2005 af 2835 (Slettet)

En plan, alfa, placeres således, at den er parallel med begge linjer, og således, at linjerne ligger på hver sin side af alfa med samme afstand til alfa. Bestem ligningen for alfa.

Jeg kender linjernes parameterfremstilling, og har så vha. deres retningsvektorer udregnet krydsproduktet, som så er lig med planens normalvektor, men hvordan finder jeg et punkt på planen?

::2835::

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. oktober 2005 af ET (Slettet)

Da de to linjer er paralelle kan du gøre dine overvejelser plane. Du har to linjer, også skal du nu finde den linje, der ligger lige i mellem dem.

Bestem en vektor, der går fra et vilkårligt punkt på den ene linje til et vilkårligt punkt på den anden linje.

Midtpunktet på denne vektor vil altid ligge lige i mellem linjerne.

Go' arbejdslyst
ET

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. oktober 2005 af frodo (Slettet)

der er da ikke nogen der siger, at de to linjer er paralelle! Det tvivler jeg på de er. De er sikkert vindskæve.

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Nu er vi nogle der ikke har adgang til diverse opgavebøger. For os vil det være en fordel om du skrev opgaven ind her i foraet.

Dertil vil jeg sige at frodo uden nogen tvivl har ret. Dersom de to rette linier var parallelle, ville deres krydsprodukt være nulvektoren. Det ville du sikkert have bidt mærke i, derfor vil jeg slutte at linierne er vindskæve.

Dernæst er krydsproduktet mellem disses retningsvektorer jo en normalvektor til den plan, der indeholder begger linier. Det er derfor ikke den du er interesseret i.

Svar #4
31. oktober 2005 af 2835 (Slettet)

#3 hele opgaven er skrvet ind i #0

beggelinjer:
dem har jeg parameterfremstillingen for og jeg har udregnet planens normalvektor.

#2
ja de to liner er vindskæve

::2835::

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#4 Vi andre må altså ikke se disse paameterfremstillinger.

Nuvel, så kan jeg kun henvise til #3 igen. Den vektor, der fremkommer ved krydsproduktet af liniernes retningsvektorer, er ikke en normalvektor til den plan, der er parallel med begge linier.

Svar #6
31. oktober 2005 af 2835 (Slettet)

Du må da gerne se parametersfremstillingerne:
m:(1+t,t,-1+t)
l:(5+5s,4+s,2s)

Hvis begge linjer er parallelle med planen så krydsproduktet af deres retningsvektorer jo være normalvektoren for planen.

Men problemet er hvordan jeg finder et punkt i planen.
::2835::

Brugbart svar (0)

Svar #7
31. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Tsk tsk, ja hvad tænker jeg dog på.

En fællesnormal mellem linierne er jo parallel med retningsvektorernes krydsprodukt v1 x v2 og må således være ortogonal på det søgte plan.

Du kan finde de punkter på de to linier som er skæringspunkter med liniernes fællesnormal. I det generelle tilfælde betrageter vi de to parameterfremstillinger

l1 : r = r1 + t*v1
l2 : r = r2 + s*v2

Et vilkårligt punkt P' på l1 forbindes med et vilkårligt punkt P'' på l2. Vektoren P'P'' kan skrives som

(r2-r1)+s*v2-t*v1

Ved nu at udtrykke at denne vektor skal være parallel med v1 x v2 fremkommer to ligninger med to ubekendte til bestemmelse af t og s. Til de værdier for t og s, man finder af disse ligninger, svarer skæringspunkterne S1 og S2 mellem fællesnormalen og de givne linier l1 og l2. Herefter finder man umiddelbart afstanden S1S2.

Da den søgte plan skal ligge midt imellem må midtpunktet på S1S2 ligge i planen.

Svar #8
31. oktober 2005 af 2835 (Slettet)

Okay, har lidt svært ved det,

men hvordan bestemmer jeg fællesnormalerne

l1 : r = r1 + t*v1
l2 : r = r2 + s*v2

retningsvektor = retningsvekotr2 + s*fællesnormal?

::2835::

Brugbart svar (0)

Svar #9
31. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Ja det havde jeg åbenbart også ;-)

Du skal bestemme fællesnormalen mellem de to vindskævt beliggende linier l1 og l2. Der er kun den ene.

I det konkrete tilfælde haves

m : r_m(t) = (1,0,-1)+t(1,1,1)
l : r_l(t) = (5,4,0)+s(5,1,2)

Idet r_m(t) er et vilkårligt punkt P' på m og r_l(t) et vilkårligt punkt P'' på l finder vi for vektoren P'P'' koordinaterne

(4,4,1)+s(5,1,2)-t(1,1,1) = (4+5s-t,4+s-t,1+2s-t)

Fællesnormalen mellem l og m er parallel med vektoren

(1,1,1) x (5,1,2) = (1,3,-4)

og vi ønsker at bestemme det talsæt (t,s) dør gør vektoren P'P'' parallel med denne (lineært afhængige). Dette udtrykkes ved

(4+5s-t)/1 = (4+s-t)/3 = (1+2s-t)/(-4)

Bestem løsningen til disse ligninger. Ved at indsætte de fundne parameterværdier i parameterfremstillingerne for l og m findes punkterne S1 og S2 nævnt i #7. Af (*) kendes koordinaterne for vektoren S1S2 [alternativt kan de beregnes udfra S1 og S2, det er præcist det samme].

Et punkt P på planen må så være f.eks.

OP = OS1 + S1S2/(2|S1S2|)

Svar #10
31. oktober 2005 af 2835 (Slettet)

Ok, tak for hjælpen! :D

::2835::

Brugbart svar (0)

Svar #11
01. november 2005 af fixer (Slettet)

#9
Sandelig om der ikke indsneg sig endnu en fejl. De søgte koordinater til midtpunktet på fællesnormalen er gived ved stedvektoren

OP = OS1 + ½S1S2

ikke det vås jeg skrev tidligere.

Skriv et svar til: Plan i rummet ( 3.092 A+ )

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.