Definitionsmængde for en funktion af 2 variable

4*x*y-3*y² ≥ 0

Løs uligheden

Jeg er i tvivl om hvordan jeg gør det når jeg har to variable.

4xy - 3y² ≥ 0

4xy ≥ 3y²

xy ≥ 3/4 y²

Såfremt y = 0 gælder denne ulighed for alle x. For y ≠ 0 har vi

x/y ≥ 3/4 (ulighedstegnet skal ikke vendes da y² > 0)
 

Tak. Jeg skal i hånden skitsere definitionsmængden i et xy-diagram. Hvordan gør jeg det når jeg ender med et udtryk hvor det er x/y? :)

Man skal løse uligheden

4xy - 3y² ≥ 0, dvs.

y·(4x - 3y) ≥ 0 ⇔

y·(4x - 3y) = 0 ∨ y·(4x - 3y) > 0 ⇔

y = 0 ∨ 4x-3y = 0 ∨ ( y > 0 ∧ 4x -3y > 0 ) ∨ ( y < 0 ∧ 4x -3y < 0 ) ⇔

y = 0 ∨ y = (4/3)x ∨ ( y > 0 ∧ y < (4/3)x ) ∨ ( y < 0 ∧ y > (4/3)x )

  (I)     ∨     (II)         ∨          (III)                    ∨           (IV)

Tegn de to rette linier (I) og (II) og marker så områderne (III) og (IV)

Highjacker lige tråden hurtigt.

#5

Hvorfor skal der tages højde for ( y < 0 ∧ 4x -3y < 0 ) denne her del? Uligheden siger at det skal være ≥?

#3

x/y ≥ 3/4 (ulighedstegnet skal ikke vendes da y² > 0)     Hvad sker der præcis her? Hvorfor forsvinder y² ?

Er det ikke nok at vise det ligesom #3, eller er det mere "korrekt" at vise det som i #5?

xy ≥ 3/4 y²

Her vil jeg gerne dividere med y², men det kan jeg ikke hvis y (og dermed y²) er nul. Derfor er jeg nødt til at betragte hvert tilfælde for sig:

Tilfælde 1: y=0

Uligheden bliver så

0 ≥ 0

og dette gælder ligegyldigt, hvilken værdi x måtte have.

Tilfælde 2: y≠0

Nu kan jeg bare dividere med y², og får

x/y ≥ 3/4

Husk at når man ganger eller dividerer med noget negativt, så skal ulighedstegnet vendes. Men da y² aldrig kan være negativ, skal ulighedstegnet ikke vendes.

#7 Tusind tak for afklaring for din del

# 6
Du spørger til # 5 :
Produktet er positivt, når de to faktorer, ≠ 0 ,  har samme fortegn.

#7

Hvordan slutter man så?

Siger man så når y≠0, så er Dm_f(3/4) for x/y. Når y = 0 så bliver uligheden 0 >=0, og derfor er det ligegyldigt hvilken værdi x har?

Når man normalt finder Dm_f så kigger man på x værdierne, her bliver det lidt tricky at se hvordan man skal bestemme det for en funktion med to variabler

Jeg har lavet en graf.

Definitionsmængden er de røde områder mellem y = 4/3 x og y = 0.

Grænselinien y = 0 hører med (dvs. linien skal tegnes fuldt optrukket og ikke stiplet) jvf. vores analyse af dette tilfælde. Ligeledes skal linien y = 4/3 x være fuldt optrukket, da det er en "blød" ulighed (≥ i stedet for >).

Man skal i Maple lave et 3dplot af funktionen 4xy-3*y² og sammensætte dette med et plot af xy-planen, således at uligheden 4xy-3*y² > 0 (større ELLER lig med, kan bare ikke finde tegnet).

Jeg har tegnet følgende graf i maple, bare af funktionen - er der ngoel mapleeksperter der ved hvordan jeg sammensætter dette plot og denne funktion med 0? Det er vel bare det jeg skal? :)

.