Matematik

fordeling

18. oktober 2013 af KaPeter (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Håber nogen kan hjælpe

X1, .... , X20 er N(0,1) fordelte iid varible. Så skal jeg så finde fordelingen af T=sqrt( abs( Y ) ) hvor Y betegner gennemsnittet af X'erne.

Og så skal jeg finde middelværdien af T bagefter.

Kan nogen hjælpe mig på vej?

Hilsen Kasper

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. oktober 2013 af skyri (Slettet)

Benyt at Y~N(0,1/20) og derfor følger variablen Z=|Y| en halv-normal fordeling med standard afvigelse σ=1/√(20). Tætheden for en halv normal fordeling er

$f_Z(z) = \frac{\sqrt{2}}{\sigma \sqrt{\pi}}\exp\left( -\frac{z^2}{2\sigma^2} \right), \quad z>0$

Tætheden for T=√Z kan du så bestemme som

$f_T(t) = f_Z(z) \left/ \left| \frac{dt}{dz} \right|$

Svar #2
19. oktober 2013 af KaPeter (Slettet)

men har jeg ikke kun T --> √Z? Hvordan kommer jacobien så til at se ud? For den skal vel gerne være kvadratisk?

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. oktober 2013 af skyri (Slettet)

Du får Jacobien til

$\left| \frac{dt}{dz}\right| = \frac{1}{2\sqrt{z}}$

Dermed er

$\begin{align*}f_T(t)&=2\sqrt{z}\frac{\sqrt{2}}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp \left( -\frac{z^2}{2\sigma^2} \right ) \\ &= 2t \frac{\sqrt{2}}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp \left( -\frac{t^4}{2\sigma^2} \right ) \\ &= \frac{2}{\sqrt{\pi}}2\sqrt{10}t \exp \left( -10t^4 \right), \quad t > 0 \end{align*}$

Fordelingsfunktionen kan du så bestemme som

$F_T(t) = \int_0^t f_T(x)dx$

Svar #4
19. oktober 2013 af KaPeter (Slettet)

Tak for hjælpen.

Men jeg har flere problemer...

Jeg skal regne middelværdien E[T], dvs.

int_0^infty t*f_T(t) dt , ikke? men det giver mig et meget grimt integral;

(4*sqrt(10))/sqrt(pi) * int_0^infty t^2 * exp(-10*t^4) dt

Hvordan skal jeg komme videre herfra?

Jeg skal også simulere i R. Er det så ikke noget i retning af

x <- rnorm(20, mean = 0, sd = 1)
mean(sqrt(abs(mean(x))))

og hvis det så skal være i en undersøgelse på 1000, så er det vel med 20 skiftet ud med 1000?

Og undskyld de mange spørgsmål, men jeg er virkelig taknemmelig for din hjælp

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. oktober 2013 af skyri (Slettet)

Du kan omskrive integralet ved at benytte substitutionen u=10t⁴. Så får du

$\begin{align*}E[T] &= \frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\infty}t^2\exp(-10t^4)dt\\ &=\frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{\pi}} \frac{10^{1/4}}{40} \int_0^{\infty} u^{3/4-1}\exp(-u)du\\ &=\frac{10^{-1/4}}{\sqrt{\pi}} \Gamma(3/4) \end{align*}$

Og det kan så evalueres i R

> 10^(-1/4)/sqrt(pi)*gamma(3/4)
[1] 0.3887844

For at simulere det i R kan du f.eks. simulere 1 million normalfordelte variable med middelværdi 0 og varians 1/20 (hvilket svare til fordelingen af y). Det vil sige

> y <- rnorm(10^6,mean=0,sd=1/sqrt(20))
> mean(sqrt(abs(y)))
[1] 0.3887195

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. oktober 2013 af skyri (Slettet)

Hvis du hellere vil simulere de 20 standard normalfordelte variable kan det gøres således

> X <- matrix(rnorm(10^6),50000,20)
> y <- apply(X,1,mean)
> mean(sqrt(abs(y)))
[1] 0.3888631

Svar #7
19. oktober 2013 af KaPeter (Slettet)

og nu er jeg så kommet i problemer igen...

Når jeg skal regne fordelingen ud, så har jeg også et grimt integral. Kan jeg ikke få det pænt på en eller anden måde? For jeg kan vel ikke bare gøre som før, altså med subst. for så passer grænserne jo ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. oktober 2013 af skyri (Slettet)

Der kan du foretage substitutionen u=√(10)x²

$\begin{align*} F_T(t) &= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t2\sqrt{10}x \exp(-10x^4)dx\\ &= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{t^2\sqrt{10}}\exp(-u^2)du\\ &=\mathrm{erf}(t^2\sqrt{10})\\ &= 2\Phi(t^2\sqrt{20})-1 \end{align*}$

hvor Φ er fordelingsfunktionen for standard normalfordelingen.

Svar #9
19. oktober 2013 af KaPeter (Slettet)

...og hvor får man så lige alle de gode ideer fra?! ARGH!

Åh, men tusind tusind tak for hjælpen. Og undskyld jeg har spurgt så meget :D

Skriv et svar til: fordeling

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.