Georg Mohr opgave

Kan du ikke løse den ved at opstille 2 funktioner for n, og så en for k? kigge på en graf og finde skæringerne hvor den opfylder det?

Den skal løses uden hjælpemidler. Hvad mener du med at løse den ved 2 funktioner? Hvordan kan man opstille de to funktioner?

n = 54,   k=54

Forklaring:   Du har

54n < 55k < 56n         denne betingelse må kun være opfyldt for een værdi af k. Find største n.

Man "gætter" bekvemme værdier for k og n, f.eks: n = 50 og k=50, hvilket indsat i uligheden giver:

2700 < 2750 < 2800    der er en mulig løsning, men ikke nødvendigvis den største n-værdi

man skal bemærke, at  2750 - 2700 = 2800 - 2750 = 50, altså at 2750 er middeltallet mellem "yderværdierne". Hvis værdierne for n og k øges med 1, vil differenserne også øges med 1, og værdien 55k vil derfor fortsat være middeltallet.

Når man øger værdierne for n og k med 4, vil differensen mellem 55k - 54n = 56n - 55k = 54, og det er den størst mulige differens, da grænsen til, at der istedet er tre mulige k-værdier ellers overskrides.

Det, at værdien 55k er placeret midt mellem værdierne 54k og 56k, ses intuitivt at være optimalt, for størst mulig værdi af n.

I intervallet ]54n ; 56n[ , hvor n er et positivt helt tal, findes der netop eet tal af formen 55k , hvor k er et positivt helt tal. Længden af intervallet ]54n ; 56n[  skal altså være mindre end eller lig med 2·55 , altså

2n ≤ 110 , dvs

n ≤ 55.

n = 55 er den største mulige værdi for n, for hvilken der findes netop eet tal k, så

54n < 55k < 56n

nemlig k = 55 .

54·55 < 55·55 < 56·55

#0:  Med #3 har du så løsningen ved uligheden:

54n ≤ 55k ≤ 56n    :)