Opklarende spørgsmål vedr. komplekse tal

1)

For z = 0 er argumentet θ helt ubestemt, da ethvert reelt θ kan benyttes i fremstillingen

z = 0·e^iθ

For z ≠ 0 udelukker man -π , da -π og π repræsenterer det samme tal på enhedscirklen, og man ønsker en entydig repræsentation.

2) Argumentet repræsenterer det samme tal på enhedscirklen, hvis man adderer et helt multiplom af 2π.

3) Af (8) og (9) ser man først:

|z²| = |z|·|z| = |z|² , og

arg(z²) = arg(z) + arg(z) = 2·arg(z) , så

z² = (r·(cos(θ) + i·sin(θ))² = r²·(cos(2θ) + i·sin(2θ))

dvs formlen gælder for n = 2.

Dernæst fås, ved antagelse af formlen for et helt n:

|zⁿ⁺¹| = |zⁿ·z| = |zⁿ|·|z| = |z|ⁿ·|z| = |z|ⁿ⁺¹ , og

arg(zⁿ⁺¹) = arg(zⁿ·z) = arg(zⁿ) + arg(z) = n·arg(z) + arg(z) = (n+1)·arg(z).

#1

Vedr. spørgsmål 1):

Hvis du vælger at multiplicere med en faktor 0 på: z = 0 · e^x+iθ = 0 · e^xe^iθ = 0 · e^x(cos(θ) + isin(θ)) = 0,

så vil z = 0, uanset hvad den reelle (e^x) og den imaginære del (e^iθ) er.

Kunne man ikke også svare på spørgsmålet ved, at når z = 0, kigger man kun på et punkt og ikke en linje med en given retning?

Vedr. spørgsmål 2):

Det var nok "up to", der drillede. Det lyder bare som, at man ikke må gange med en højere værdi end 2π, f.eks. 2·2π?

Kan man så tillade at skrive:

arg(z₁z₂) + 2π  = (arg(z₁) + 2π) + (arg(z₂) + 2π)?

#2

Der er ikke tale om at gange med 2π. Man kan lægge et helt multiplum af 2π til et argument uden at ændre værdien af det komplekse tal.

#3

Gange?
Hvordan skriver jeg det op, hvor jeg har lagt 2π til på begge sider af lighedstegnet uden at ændre på 'resultatet'?

Et andet bud: arg(z₁z₂) + 2π  = arg(z₁) + arg(z₂) + 2π?

#4

Man kunne skrive

arg(z₁z₂) ≡ arg(z₁) + arg(z₂)  (mod 2π)

#5

Mange tak. Jeg går ud fra, at du mente "multiplum" og ikke "multiplom".

Et sidste spørgsmål drejer sig om spørgsmål 3 i #1. Det, der står i kursivt:

"Similarly, (12) with z₁ = 1 and z₂ = zⁿ gives (13) for n = -1, -2, ..."

Hvad er det, der er pointen med den?

#6

Ja, det er vel også klart fra svaret i #3, at der er tale om en tastefejl.

Det sidste benyttes til at vise formlen for negative værdier af n. Det kan nu også gøres på denne måde:

Hvis  zⁿ = (r·(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = rⁿ · (cos(nθ) + i·sin(nθ) er vist for heltallige n ≥ 0 , har man så, for
heltallig n < 0:

zⁿ = (r·(cos(θ) + i·sin(θ))ⁿ = (r·(cos(θ) + i·sin(θ))^-(-n)

                                         = r^-(-n)) · (cos(θ) + i·sin(θ))^-(-n)

                                         = rⁿ · 1 / ((cos(θ) + i·sin(θ))^-n , benyt nu, at -n > 0, så vi kan benytte formlen

                                         = rⁿ · 1 / (cos(-n·θ) + i·sin(-n·θ))

                                         = rⁿ · 1/ (cos(nθ) - i·sin(nθ))

                                         = rⁿ · (cos(nθ) + i·sin(nθ)) / (cos²(nθ) + sin²(nθ))

                                         = rⁿ · (cos(nθ) + i·sin(nθ))

hvorved formlen også er bevist for heltallige negative n.

#7

Du er for vild og jeg kan godt se proceduren med den polære form.

Kunne dette også vises med formel (12) i #0?

#8

Ja, det kan det da. Med z₁ = 1 er |z₁| = 1 og arg(z₁) = 0

#9

Med z₁ = 1, |z₁| = 1, arg(z₁) = 0 og z₂ = zⁿ, får vi ud fra formel (12):

1/zⁿ = 1/rⁿ [cos(-nθ_n) + isin(-nθ_n)]

zⁿ = rⁿ / [cos(-nθ_n) + isin(-nθ_n)]

#9

Jeg var måske lidt for hurtig, men hvordan kommer jeg videre fra #10?

#11

Forlæng med nævnerens kompleks konjugerede, ligesom i #7. Udnyt, at cos(x) er en lige funktion, og sin(x) er en ulige funktion.

#12

Jeg får så:

zⁿ = rⁿ / [cos(-nθ_n) + isin(-nθ_n)]

    = rⁿ [cos(-nθ_n) - isin(-nθ_n)] / [cos²(-nθ_n) + sin²(-nθ_n)]

    = rⁿ [cos(-nθ_n) - isin(-nθ_n)]    

    = rⁿ [cos(nθ_n) + isin(nθ_n)]    

Kan du bekræfte det?

#14

Tak.

To tillægsspørgsmål. Jeg håber, at du også vil kigge på dem.

1)

Et komplekst tal er givet: z = e^x(cos(y) + isin(y)), hvor e^x ≠ 0 (kan ikke give nul uanset hvad).

Der står så:

"So here we have an entire function that never vanishes, in contrast to (nonconstant) polynomials, which are also entire but always have a zero, as proved in algebra".

Skal det forstås således, at z aldrig kan give nul, mens et polynomium i form af f.eks.: y = ax² + bx + c vil give nul, når det differentieres 3 gange? Hvad hvis polynomiet også bestod af et led med e^x?

Det kræver vel også, at z ≠ 0, for at det komplekse tal er en "entire" funktion?

2)

Regnelregel for logaritme:

ln(z) = ln(r) + iθ

Hvis nu f.eks. z = -4, så r = √((-4)²+0²) = 4, men i lærebogen står der:

"If z is negative real (so that the natural logarithm of calculus is not defined!), then Arg(z) = π".

Den naturlige logaritme er da defineret for 4 her?

#15

Den komplekse eksponentialfunktion er en hel funktion, der ikke har noget nulpunkt. En hel funktion er en kompleks funktion, der er holomorf på hele den komplekse plan. I modsætning til eksponentialfunktionen står etkvert ikke-konstant polynomium, der også er en hel funktion, men som har et nulpunkt.

Bemærk: -4 = 4·(-1) = 4·e^iπ , så

ln(-4) = ln(4) + iπ

er en af de multiple værdier for ln(-4) .

#16

Jeg forstod ikke helt det du skrev først, men det sidste forstod jeg godt.

Kan svaret på 1) forklares ud fra et eksempel som jeg prøvede på i #15?

#17

Nej, det har ikke noget at gøre med at differentiere et antal gange. Det har noget at gøre med, at ligningen

e^z = 0

ikke har nogen løsninger for z ∈ C , mens ligningen

p(z) = 0 ,

hvor z er et ikke-konstant polynomium over C, altid har mindst en løsning for z ∈ C .

Pointen her er, at en kompliceret, hel funktion ikke nødvendigvis har nogen nulpunkter, hvilket eksemplificeres ved den komplekse eksponentialfunktion.

#18

Gav mere mening. Hvordan ser z ud, når det er et ikke-konstant polynomium over C og at det altid har mindst en løsning for z ∈ C?

Jeg skrev før: ax² + bx + c, men det er jo ikke et komplekst tal.