Side 2 - Opklarende spørgsmål vedr. komplekse tal

#20

Der er tale om et polynomium i z = x+iy med komplekse koefficienter

p(z) = a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₂z² + a₁z + a₀ ,

hvor n ≥ 1, a_n ≠ 0 , a_j ∈ C , z ∈ C .

Jeg bruger z som betegnelse for den uafhængige variable. Jeg kan se, at du bruger z som betegnelse for funktionsværdien, hvilket gør det lidt forvirrende.

#21

Okay, det korte af det lange er, at vi tager udgangspunkt i det polynomium du har skrevet op i #21, hvor både koefficienterne (a'erne) og z'erne er i form af z = x + iy. Dette polynomium har og vil altid have mindst én løsning til problemet p(z) = 0. Er det korrekt forstået?

#22

Ja, det følger jo af algebraens fundamentalsætning. Det er lidt misvisende at skrive, at koefficienterne er af formen z = x+iy. Både koefficienterne og den uafhængige variabel z er komplekse.

#23

Fair nok. Hvorfor må a_n (altså første koefficient) ikke være lig 0?

#24

Ellers ville der jo ikke være tale om et polynomium af grad n.

#25

Det er rigtigt. Tak for hjælpen.

#25

Ved du tilfældigvis, hvordan man kan bevise, at:

z^c = e^{c ln(z)}, hvor z = x + iy og c er et komplekst tal?

Jeg har prøvet med rigtige tal og det viser sig, at det er korrekt, men kan man gøre det med bogstaver og/eller bruge forskellige regneregler og på den måde vise det?

#27

Det er sådan man definerer z^c for komplekst z og c .