Første ordens differentialligning

              "definite given"   = specifik

              arbitrary constant  = integrationskonstant _{(i første omgang ikke nærmere bestemt før begyndelsesbetingelserne 
                                                                                                       kommer med i billedet)}.

1) Jeg kender ikke baggrunden eller sammenhængen, som de par sætninger er taget ud fra. Normalt taler man om den fuldstændige løsning til en differentialligning som værende et udtryk, der beskriver samtlige løsninger til ligningen. Der kan heri indgå en eller flere ubestemte (arbitrære) konstanter. En partikulær løsning er én ganske bestemt løsning til ligningen; den kan være bestemt ud fra den fuldstændige løsning som den løsning, der opfylder nogle ekstra betingelser, som for eksempel begyndelsesværdier.

2) I den løsning er c en arbitrær konstant, der kan gennemløbe foreksempel alle positive reelle tal, mens k er en ganske bestemt konstant, der er givet på forhånd.

3) Ved radioaktivt henfald er det antal atomkerner, der henfalder i tiden dt, proportionalt med det samlede antal kerner af det radioaktive stof, dvs  k·y dt . Derfor ændres y med -k·y dt , dvs

dy/dt = -k·y , k > 0 .

eller skrevet
                          dN/dt = -k·N , N,k > 0
        hvoraf
                          (1/N) dN = -k dt

                           ∫(1/N) dN = ∫-k dt

                          ln(N) = -kt + ln(N_o) = ln(N_o) + (-kt)

                          N(t) = N_o•e^-kt

#1- #4

Tak for det, men jeg blev dog ikke klogere på 1)'eren.

Hvis jeg tager det hele med fra lærebogen vedr. det uddrag, så står der:

"We shall see that c is sometimes not completely arbitrary but must be restricted to some interval to avoid complex expressions in the solution.

We shall develop methods that will give general solutions uniquely (perhaps except for notation). Hence we shall say the general solution of a given ordinary differential equation (instead of a general solution)."

We shall develop methods that will give general solutions uniquely (perhaps except for notation). Hence we shall say the general solution of a given ordinary differential equation (instead of a general solution)."

Vi vil udvikle metoder, der vil give den fuldstændige løsning specifikt (måske lige med undtagelse af notationen).
Vi vil således tale om den fuldstændige løsning til en almindelig differentialligning (frem for udtrykket en generel løsning).

#6

Er en generel løsning ikke det samme som en fuldstændig løsning?

#7

Den fuldstændige løsning er det samme som den generelle løsning.

#8

Ja, okay

Har set, at man også kan angive integrationskonstanten ved c^~ (hvor stregen/bølgen er ovenfor), f.eks. i:

dy/y = -2x dx, hvilket giver ln(y) = -x² + c^~.

Er der noget specielt ved angivelsen?

#9

Nej, sikkert ikke ud over det at kunne kende forskel på forskellige varianter af konstanten.

Med ln(y) = -x² + c^~ vil man så tage skridtet videre

y = e^{-x^2} · e^c~ = c·e^{-x^2} .

Her ville man i nogle fremstillinger have brugt samme symbol for c^~ og c , idet det er klart, at begge er arbitrære konstanter.

#10

Super.

Et sidste spørgsmål for nu:

Følgende løsning gør sig gældende for radioaktivt henfald: y = y₀e^kt

For levende organismer er forholdet mellem ¹⁴₆C og ¹²₆C konstant. Når man dør, så får man ikke tilført ¹⁴₆C, hvorved forholdet falder. En mumie, der blev fundet, havde et forhold på 52,5% og halveringstiden for ¹⁴₆C er 5715 år. Disse oplysninger giver værdien k = -0,0001213.

Jeg forstår ikke, hvad der sker i den følgende beregning:

e^kt = e^-0,0001213t = 0,525 ⇒ t = 5312 år

Og hvor bliver y₀ af fra den oprindelige formel?

#11

At halveringstiden er T_1/2 betyder, at forskriften er

y(t) = b · (1/2)^t/T_1/2 ,

så e^k = (1/2)^1/T_1/2 , eller

k = (1/T_1/2)·ln(1/2) = -0,000121286

Man søger så t, så at y(t) = 0,525·y(0), dvs

(1/2)^t/T_1/2 = 0,525 ,

dvs.

t = T_1/2 · ln(0,525)/ln(1/2) = 5715 · ln(0,525)/ln(1/2) = 5312,7 år

#12

Ah, okay. I din udregning er b = y₀, så de eliminerer hinanden. Er svaret så alderen på mumien?

#13

Man skal jo ikke bruge b eller y(0) til noget, da man blot skal halvere den oprindelige mængde. Ja, svaret er alderen.

C-14
             almindeligt anvendt
                                                  t_alder ≈ (19000 år)•log(A₀/A)