Optimering af kasser

Find et udtryk for h(x) ud fra volumen af kassen

Lav en funktionsanalyse på overfladearealet af kassen A(x,h(x))

Først opstiller jeg ligninger for overfladearealet og volumen:
Overfladearealet:
O = x^(2)+4*x*h

Volumen:
V = h*x^(2)

Da jeg kender V:
32 = h*x*x
h = ((32)/(x^(2)))
Nu kan jeg indsætte det i O:
O = x^(2)+4*x*((32)/(x^(2)))
Alternativ form:
O = ((x^(3)+128)/(x))

Hvordan finder jeg så O'(x) = 0 altså kan O = ((x^(3)+128)/(x)) differentieres?

Jeg foretrækker at differentiere den når den ser således ud:

O(x) = x^2+128/x
O'(x) = 2x-128/x^(-2)

Og hvad skal jeg så gøre?

finde O'(x)=0 og tjekke at det er minimum. Så har du fundet din x

Eventuel stil en definationsmængde op så x> 0 og h>0 <- så du ikke finde nogen punkter der ikke kan lade sig gøre for h.

Ved ikke hvordan jeg finder O'(x) = 0

Optimeringen består i at bestemme minimum for overfladearealet
dvs finde nulpunkt(er) for O'(x):
                                    
                                        128
                    O'(x) = 2x - ------- = 0            x > 0
                                          x²

                                 2x³ - 128 = 0     

                                 x³ - 64 = 0     

                                 x³ = 64 = 4³

                                           x = 4

          for 0 < x < 4 er O'(x) < 0, hvorfor O(x) er monotont aftagende
          for 0 x > 4 er O'(x) > 0, hvorfor O(x) er monotont voksende

          Heraf ses, at O(x) har minimum for x = 4.

Den mindste overflade dvs det mindste materialeforbrug opnås for sidelængden x = 4.

Det optimale mål er altså kvadratisk bundareal med siden 4.

Tak skal I have