Bestem først q(t) så yp(t) = t2 er en løsning til differentialligningen y'(t)+2y(t)=q(t)

Indsæt y_p(t) = t² (?) i venstre side af differentialligningen. Dette er så q(t) . y_p(t) = t² er så en partikulærløsning til den viste differentialligning.

Find samtlige løsninger til den tilsvarende homogene differentialligning og læg dertil
partikulærløsningen y_p(t) .

eller uden gæt:

                      y' + 2y = q(t)                                  multiplicer med e^2t            

                      e^2t·y' + 2y·e^2t = q(t)·e^2t                 venstre side omskrives

                      (e^2t·y(t))' = q(t)·e^2t                         som ved integration mht t giver

                      e^2t·y(t) = ∫₀ q(t)·e^2tdt + C

                      y(t) = Ce^-2t + e^-2t · ∫₀ q(t)·e^2tdt       ∫₀ q(t)·e^2tdt   er stamfunktionen med integrationskonstanten 0  

er ikke helt sikker på hvordan jeg skal indsætte y_p(t)=t² i i venstresiden? 

#3

Man indsætter funktionen i differentialligningens venstreside. Med y_p(t) = t² er y_p'(t) = 2t, så

y'(t) + 2y(t) = 2t + 2t² ,

dvs.

q(t) = 2t + 2t² .

Den homogene ligning er y'(t) + 2y(t) = 0 , der har den fuldstændige løsning

y(t) = C·e^-2t .

Den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning

y'(t) + 2y(t) = 2t + 2t²

er så

y(t) = C·e^-2t + y_p(t) = C·e^-2t + t²

#2 hvad mener du med uden gæt. Det er vel ikke meningen jeg skal gætte ?

#5
     Man foretager et kvalificeret gæt af en partikulær løsning. Men du fik den leveret i opgaveteksten.
     Spørgsmålet er, om du ville kunne løse differentialligningen, hvis du selv skulle have "gættet" en partikulær
     løsning.

#5

Nej, i denne opgave er der ikke tale om at gætte. Man konstruerer differentialligningen til at passe til en udvalgt løsning. Men ofte vil der ved løsning af inhomogene differentialligninger være tale om, at man gætter på en løsning til den inhomogene ligning. Ved dertil at lægge samtlige løsninger til den tilsvarende homogene ligning, får man samtlige løsninger til den inhomogene ligning.