Udregning af sidelængde x udfra tre længder.

Udtryk diagonalen i kvadratet v.h.a. x.
Da har vi lutter trekanter med alle sider kendte.
Herons formel til arealet af hver af trekanterne.
Summen af arealerne er lig med arealet af kvadratet.

(3*5)/2=7,5
(3*7)/2=10,5
7*5=35
35+10,5+7,5=53
√53=7,28011

resultatet = 7,28 

er det korrekt? 

Anvend denne på hver af trekanterne

a=  (3*5)/2=15/2≈7,5
b=(3*7)/2=21/2≈10,5
c=(7*5)/2=35/2≈17,5
s=  (a+b+c)/2=>(7,5+10,5+17,5)/2=17,75  

Arealet=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c) )=>

Arealet=√(17,75*(17,75-7,5)*(17,75-10,5)*(17,75-17,5) )=18,15934
18,15934*2=36,31868
√36,31868=6,026498

er det rigtigt nu? 
 

En alternativ fremgangsmåde:

Indlægger man et koordinatsystem med begyndelsespunkt i kvadratets nederste venstre hjørne, har to af kvadratets hjørner koordinatsættene (x,0) og (0,x). Kalder vi nu gårdens koordinatsæt for (a,b), har vi af de opgivne afstande

a² + b² = 3²
a² + (x-b)² = 7²
(x-a)² + b² = 5²

der let reduceres til dette ligningssystem

x² - 2bx = 7² - 3² = 40
x² -2ax = 5² - 3² = 16
a² + b² = 3² = 9

Heraf får vi, ved addition og subtraktion af de to første ligninger

x² - (a+b)x = 28
2(a-b)x = 24 .

Isolerer vi a-b og a+b , får vi

a - b = 12/x
a + b = x - 28/x

eller

2a = x - 16/x
2b = x - 40/x

der ved indsættelse i den 3. ligning a² + b² = 9 giver

(x - 16/x)² + (x - 40/x)² = 4·9 = 36 ,

hvoraf vi får

x⁴ - 74x² + 928 = 0 .

Denne ligning faktoriseres let til

(x² - 16)·(x² - 58) = 0

med de positive rødder

x = 4 og x = √58 .

Af geometrien ser vi, at der skal gælde x√2 > 7 , dvs x > 7/√2 > 4 , så den eneste brugbare rod er

x = √58 .

Heraf fås så a = 21/√58  og  b = 9/√58 .

SuneChr tak for opstilligen, kunne ikke lige finde ud af hvordan jeg skulle få difinere x til sidst, men det fik mig til at tænke på en anden teori. 

du skriver at

s₃ = 7+5+x√2 / 2 

kunne man ikke bruge pythagoras  og så siger 7²+5²=74 => √74 = 8,602325

derved får vi så dannet en retvinklet trekant hvor vinklerne er 90 , 45 , 45 og c = 8,602325

Længden af siden b findes vha. cosinus
b=a•cos(C) => 8,602325•cos(45)=6,082762

Længden af siden c findes vha. sinus
c=a•sin(45) => 8,602325•sin(45)=6,082762

Sidelængde x =6,082762 kilometer

#7

Hvor ser du en retvinklet trekant med kateterne 5 og 7?

Læs forklaringen i #6.