Matematik

Forskrift for den stamfunktion G til f

10. marts 2014 af snilo (Slettet) - Niveau: A-niveau

En funktion f er bestemt ved
f(x)=x²-4x+7

a) Bestem en forskrift for den stamfunktion F til f, hvis graf går gennem punktet (3,10)

b) Bestem en forskrift for den stamfunktion G til f, hvis graf har linjen med ligningen y=3x+1 som tangent.

Hvordan løser man b) ? :)

Brugbart svar (1)

Svar #1
10. marts 2014 af mathon

$F(x)= \frac{1}{3}x^3-2x^2+7x + {\color{Red} k}$
og
$F(3)= \frac{1}{3}\cdot 3^3-2\cdot 3^2+7\cdot 3 + {\color{Red} k}=10$

$F(x)= \frac{1}{3}x^3-2x^2+7x -2$

Brugbart svar (1)

Svar #2
10. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Stamfunktionen G(x) har formen

G(x) = (1/3)x³ - 2x² + 7x + k .

For at finde, hvor den kan have linien med ligningen y = 3x+1 som tangent løser man da ligningen

G'(x) = f(x) = 3 , dvs

x² - 4x + 7 = 3 .

Dette giver x-koordinaten for tangentens røringspunkt med grafen for G(x). Beregn røringspunktets y-koordinat ud fra tangentens ligning, og afpas så konstanten k, sådan at røringspunktet også ligger på grafen for G(x) .

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. marts 2014 af mathon

$G(x)= \frac{1}{3}x^3-2x^2+7x +k$

og
$g(x_o)= f(x_o) = x{_{o}}^{2} - 4x_o + 7 = 3$

                                                   $x{_{o}}^{2} - 4x_o + 4 = 0$
                                                   $\left (x_o -2 \right )^2 = 0$
                                                   $x_o = 2$        som ved indsættelse i   y = 3x + 1
giver
                                                   $y_o = 3\cdot 2 + 1 = 7$

hvoraf - da røringspunktet R(2,7) også skal opfylde

$7= \frac{1}{3}\cdot 2^3-2\cdot 2^2+7\cdot 2 +k$

$k= -\frac{5}{3}$

dvs
$G(x)= \frac{1}{3}x^3-2x^2+7x - \frac{5}{3}$

Svar #4
10. marts 2014 af snilo (Slettet)

Tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: Forskrift for den stamfunktion G til f

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.