Matematik
Newtons afkølingslov
Hejsa derude;)
Sidder fast i flg opgave:
Løs følgende temaopgave om afkøling af kaffe i en kop:
Temaopgave: Modellering af afkøling i en kop
Når en ting er varmere end omgivelserne vil den gradvist blive afkølet.
Temperaturfaldet målt i grader pr. minut er stort, hvis der er en stor
temperaturforskel til omgivelserne, og bliver mindre og mindre jo tættere man
kommer på omgivelsernes temperatur. Vi antager, at der gælder følgende:
Newtons afkølingslov:
Hastigheden hvormed et objekt afkøles er proportional med
temperaturforskellen til omgivelserne.
Vi ønsker at modellere afkølingen af kaffe i en kop. Det er klart, at hastigheden
af afkølingen, og dermed proportionalitetsfaktoren, må afhænge af, hvor godt
varmeisoleret koppen er.
Opgave:
Det oplyses, at temperaturen af kaffen i en kop til at begynde med er 92 grader.
Kaffen står i et lokale, hvor temperaturen er 20 grader. Efter 5 minutter er
temperaturen faldet til 85 grader.
Opstil en model for afkølingen med Newtons afkølingslov og løs det derved
fremkomne begyndelsesværdiproblem med Laplace transformen.
Bestem derefter temperaturen af kaffen 25 minutter efter den var 92 grader, og
bestem desuden hvor lang tid der går fra den var 92 grader til dens temperatur er
faldet til 50 grader.
Illustrer afkølingen grafisk, så man kan følge, hvordan temperaturen af kaffen
gradvist nærmer sig stuetemperaturen på 20 grader.
Svar #1
13. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)
Kald temperaturen af kaffen som funktion af tiden t for T(t) og kald temperaturen af omgivelserne for Ts . Så siger afkølingsloven, at
dT/dt = k·(T - Ts)
Løs nu denne differentialligning, idet det oplyses, at T(0) = 92 , Ts = 20 , og T(5) = 85 .
Når løsningen er bestemt, beregner man derefter T(25) og løser ligningen T(t) = 50 .
Svar #2
13. marts 2014 af L84S (Slettet)
Hvad står K i denne formel: dT/dt = k·(T - Ts)
antallet af minutter?
dT
-- = K (T - Ts)
dt
92 = 0*(92, -20)
Tak
Svar #3
13. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
k er jo proportionalitetsfaktoren i opgavens tekst
Hastigheden hvormed et objekt afkøles er proportional med
temperaturforskellen til omgivelserne.
Løs differentialligningen og bestem k og integrationskonstanten ud fra opgavens oplysninger.
dT/dt = k·(T - Ts) , dvs
d(T-Ts)/dt = k·(T - Ts) ,
T - Ts = c·ekt ,
T(t) = Ts + c·ekt
Skriv et svar til: Newtons afkølingslov
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.