Matematik

Integration ved substitution giver ikke mening?!?

21. marts 2014 af Amril (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, har lidt problemer med at forstå integration ved substitution.

Vi har formlen at hvis man skal differentiere f(g(x)) * g ' (x), så er det; F(g(x)).

Men så har vi eksempelvis en opgave: find integralet af (x+2)^2.... jamen, den har jo kun f(g(x)), og IKKE nogen g ' (x) ganget på, hvordan kan jeg så bruge integration ved substitution?

Hvis vi regner videre, så giver det u = x + 2, og du = dx, og efter substitution får jeg:

(u)^2 dt.

Og det kan så integreres og jeg substitutere x + 2 tilbage, men jeg forstår stadig ikke hvorfor der står g ' (x) i min formel? Er den bare 0 eller hvad?

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Du mener vel, hvis man skal integrere, ikke differentiere?

Ved integralet ∫ (x+2)² dx er g(x) = x+2 og g '(x) = 1 . En faktor 1 kan som bekendt udelades i et produkt.

I en substitution mellem u og x kan der aldrig kommet et dt ind i billedet.

Svar #2
21. marts 2014 af Amril (Slettet)

Jov, integration.

Okay, så hvis g ' (x) = 1, så foretager jeg min substitution, sætter en eventuelt konstant udenfor parentes, og integrere.

Men hvad hvis mit g ' (x) i ovenstående tilfælde var 2x, eksempelvis og g(x) = 2x +1.Så har vi:

∫ (2x+2)^2 * 2x dx

u = 2x + 2

du = 2dx

1/2du = dx

∫ (u)^2 * 2x 1/2du.

Hvordan løses ovenstående?

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Dit eksempel er ikke konsistent med sig selv. Hvis g'(x) = 2x, kan g(x) ikke være 2x+1 . Hvis g'(x) = 2x ,
må g(x) være af formen g(x) = x²+k , for eksempel

∫ (x²+4) · 2x dx , u = x²+4 , du = 2x dx, og

∫ (x²+4) · 2x dx = ∫ u du

Efter en substitution har man udelukkende den nye variabel u i integralet. Man har ikke en blanding med både x og u .

Svar #4
21. marts 2014 af Amril (Slettet)

Nu giver det mere mening. Tak.

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. marts 2014 af mathon

generelt
                  da
                            $\left ( F(g(x)) \right ){})\: ' =f(g(x))\cdot g{}\: '(x))$
haves
                 for     $\small g(x)=u$    og dermed   $\small g\: '(x)dx=du$

$\small \small \int_{a}^{b}f(g(x))\cdot g\: '(x)dx=\int_{\alpha =g(a)}^{\beta =g(b))}f(u)du=F(g(b))-F(g(a)) = F(\beta )-F(\alpha )$

Skriv et svar til: Integration ved substitution giver ikke mening?!?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.