et polynomium's 3. rod ??

Nu er rødderne   {- 4 , - 3 , 2}    heltallige i det forelagte tilfælde og ret nemme at gætte.
For ethvert polynomium med heltallige reelle koefficienter vil gælde, at hvis der findes uforkortelige rationale rødder  ^p/_q , vil p gå op i konstantleddet og q gå op i koefficienten i leddet med den højeste potens.
Her i opgaven går både 2, 3 og 4 op i konstantleddet, uden hensyn til fortegn.
Er det muligt bare at gætte én rod, kan polynomiet divideres og dermed reduceres til et 2.gr. polynomium, som er noget lettere at løse, hvis der dér ér rødder.
For mere komplicerede polynomier kan man benytte Cardanos formel for løsning af 3.gr. ligninger.
  

Vel formuleret #1

De mulige rationelle rødder til , er dermed 

Indsæt i f(x) og find en af rødderne. Derved kan du udføre polynoniumerne division med (x - r₁)  og munde ud med en andengradsligning. Derefter bør det være en simpel sag at beregne de sidste rødder ...

-------

for tredjegradspolynonium ved formen

p(x) =  x³ + bx² + cx + d = (x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) 

gælder der ydermere

⇒ b=  - (x₁ + x₂ + x₃) ,   c= x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃   ,   d= -x₁x₂x₃

Det kan du sagtens benytte.

Tak for nogle rigtig gode svar :)

#1

Nu er rødderne   {- 4 , - 3 , 2}    heltallige i det forelagte tilfælde og ret nemme at gætte.
For ethvert polynomium med heltallige reelle koefficienter vil gælde, at hvis der findes uforkortelige rationale rødder  ^p/_q , vil p gå op i konstantleddet og q gå op i koefficienten i leddet med den højeste potens.
Her i opgaven går både 2, 3 og 4 op i konstantleddet, uden hensyn til fortegn.
Er det muligt bare at gætte én rod, kan polynomiet divideres og dermed reduceres til et 2.gr. polynomium, som er noget lettere at løse, hvis der dér ér rødder.
For mere komplicerede polynomier kan man benytte Cardanos formel for løsning af 3.gr. ligninger.
  

Jeg skal lige høre dig, i forhold til at gætte rødderne, hvordan gennemskuer du fx roden -4? 

og hvad er uforkortelige rationale rødder,  p/q ?  og har du lyst til at vise mig hvordan  p går op i konstantleddet og q gå op i koefficienten i leddet med den højeste potens?

Det her er ude for mit pensum, og opgaven er stillet som en ekstra opgave der kan besvares hvis man har lyst. 

Jeg kunne godt tænke mig at se det gjort, men har slet ikke redskaberne til det :) 

#2

Vel formuleret #1

De mulige rationelle rødder til , er dermed 

Indsæt i f(x) og find en af rødderne. Derved kan du udføre polynoniumerne division med (x - r₁)  og munde ud med en andengradsligning. Derefter bør det være en simpel sag at beregne de sidste rødder ...

-------

for tredjegradspolynonium ved formen

p(x) =  x³ + bx² + cx + d = (x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) 

gælder der ydermere

⇒ b=  - (x₁ + x₂ + x₃) ,   c= x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃   ,   d= -x₁x₂x₃

Det kan du sagtens benytte.

Tak for en rigtig god vejledning. Jeg vil lige spørge dig, hvad er  her? er det henholdsvis a, b og c? 

Nej, x₁, x₂ og x₃ er rødderne.

Hvis du har en grafregner, er det hurtigste nok at aflæse rødderne grafisk (grafens skæring med x-aksen),
og så bevise at dine gættede/aflæste rødder er korrekte (og helt præcist aflæst) ved at indsætte dem i funktionen.

Altså: f (x_gættet)  =  0    ⇔    x_gættet er en rod i polynomiet f(x).