Finurlig opgave (for de kloge)

På rapidshare.de - gå ned i bunden tryk download (jeg ville vælge free), herefter vil billedet vises i bunden.

Benævn med l_i og h_i, i E {1,2} henholdsvis længden af liniesegment i og den højde i hvilken segment i skærer den modstående side. I det konkrete tilfælde haves l_1 = 20 og l_2 = 30 (eller omvendt) og h_1, h2 er ukendte.

Betegn med x den søgte afstand og med h den højde, i hvilken linierne skærer. Højden deler grundlinien i to liniestykker med længderne a og b således at x=a+b, og navngivningen af stykkerne afstemmes således med navngivningen af liniestykkerne, at ensvinklede trekanter giver

I: (a+b)/h_1 = a/h
II: (a+b)/h_2 = b/h

Addition af I og II giver

1/h_1 + 1/h_2 = 1/h (*)

Af retvinklede trekanter haves endvidere

h_1 = sqrt((l_1)² - x²) (**)

h_2 = sqrt((l_2)² - x²) (***)

Indsættelse af (**) og (***) i (*) giver en eksplicit ligning til bestemmelse af x. I det generelle tilfælde er det nemmeste at stoppe nu og overgår til numerisk løsning af (*).

Alternativt kan h_1 og h_2 elimineres af (*)-(***) hvorved fremkommer en 8. gradsligning, der reelt blot er en 4. gradsligning i forklædning. Dette alternativ er dog kun interessant såfremt værdierne l_1, l_2 og h netop er således beskafne, at der er en åbenbar rational løsning til ligningen. Er dette ikke tilfældet vil det tunge arbejde med at løse ligningen eksakt lang overskygges af enkeltheden ved at løse (*) numerisk.