Matematik

Overflade areal af omdrejningslegeme

06. december 2005 af Peter H (Slettet)

"Cirklen med ligningen x^2 + (y-2)^2 = 4 drejes 360 grader om x-aksen. Vis at overfladen af omdrejningslegemet er 16 pi^2."

:S kan ikke helt finde ud af den...

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. december 2005 af fixer (Slettet)

Cirklen har centrum i C(0,2) og radius r=2. Ved rotationen beskriver punktet C en cirkel med omkreds O = 2pi*r = 4pi.

Forestil dig nu at der i omdrejningslegemet (en torus) foretages et snit og at det "foldes" ud således at omtalte cirkel, der fremkom ved rotation af C om x-aksen, strækkes ud til et ret liniestykke. Længden af dette liniestykke er O.

Ved udstrækningen forvandles toruset til en cirkulær cylinder med højde O omkreds lig omkreds af den oprindelige cirkel.

Bestem derfor torusets overfladeareal som overfladearealet af den udstrukne cirkulære cylinder.

Svar #2
06. december 2005 af Peter H (Slettet)

hmm... så får jeg arealet til at være 32 pi og det er jo ikke lig med 16 pi^2 :-/

Svar #3
06. december 2005 af Peter H (Slettet)

*aherm, jeg får arealet til at være 32 pi^2 ...

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. december 2005 af fixer (Slettet)

Cylinderens overfladeareal er dens omkreds ganget dens højde.

Omkredsen er 2pi*r = 4pi

Højden er O = 2pi*r = 4pi

Svar #5
06. december 2005 af Peter H (Slettet)

Hvorfor er højden 4 pi? Altså burde den ikke være omkredsen af den "store" cirkel, altså torusen? altså 8 pi?

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. december 2005 af fixer (Slettet)

Læs #1 igen.

Den cirkel punktet C beskriver ved rotationen, har omkredsen O = 4pi. Idet torus'en foldes ud bliver denne cirkel til et ret liniestykke med længden O. Dette liniestykke er symmetriaksen i den ved udfoldningen fremkomne cylinder. Dets længde er derfor cylinderens højde.

Svar #7
07. december 2005 af Peter H (Slettet)

Tror ikke jeg forstår det. Altså du mener at man udfolder cirklen til en ret linje (som så har længden 4 pi) og denne linje drejer man så 360 grader rundt om x-aksen og dermed får man en cylinder med højden 4 pi, samt omkredsen 4pi, og dermed et overflade areal på 16 pi^2. Men må man godt det :S

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. december 2005 af fixer (Slettet)

#7 Nejda.

Forestil dig en redningskrans. Snit kransen over. Tag fat i hver af de to snitflader og træk kransen ud så den bliver snorlige. Nu haves en cirkulær cylinder.

Cylinderens diameter er den samme som diameteren af redningskransens cirkulære tværsnit.

Cylinderens højde er lig omkredsen af redningskradsen målt midt imellem dens inder- og yderside.

Brugbart svar (0)

Svar #9
08. december 2005 af fixer (Slettet)

En lammende tanke slår ned i mig.

Har du overhovedet prøvet at tegne det?

Svar #10
08. december 2005 af Peter H (Slettet)

hehe forstår det godt nu... jeg kunne bare ikke lige se at man skulle måle cylinderens højde som cirklen der forekommer i "midten" af torusen, i stedet for cirklen som forekommer helt ude i periferien... men tak for hjælpen, selvom der nok ikke er meget professor i mig :D

Brugbart svar (0)

Svar #11
08. december 2005 af lany (Slettet)

#1: Resultatet er rigtigt, men det er ikke oplagt (for mig i hvert fald), at det kan gøres på den måde. For mig at se, skal der kobles mere teori på. Så vidt jeg husker, drejer det sig om Guldins regler.

Svar #12
08. december 2005 af Peter H (Slettet)

#11 jep...

jeg tror at vi skulle bruge nogle regler mht integration, men vores lærer sagde at den nok var for svær for os til at vi kunne regne den ud algebraisk, så vi skulle bare regne den ud ved hjælp af grafregner/derive el. lign., så det kan vist være ligemeget... :)

Brugbart svar (0)

Svar #13
08. december 2005 af lany (Slettet)

#12: Det havde jeg nok på fornemmelsen. Det du skal have fat i er voluminet af et omdrejningslegeme om x-aksen. Måske det siger dig noget...

Skriv et svar til: Overflade areal af omdrejningslegeme

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.