Matematik
SSO - Kompleks ligning
15. december 2005 af
Dikael (Slettet)
Vil gerne lige have nogle hint til hvordan man løser opgaven:
beregn tallene a og b, så i og -i er løsninger til ligningen:
z^5-12z^4+62z^3-az^2+ibz-82=0
ligningen har yderligere tre løsninger, hvoraf en er reel. Bestem disse tre.
Er lidt i tvivl... er over i noget med polynomiers division hvor jeg dividere z-i og z+i op i polynomiet... men er ikke sikker og kan ikke få det helt til at passe... så tænkte om der var nogen af jer kloge mennesker her inde der kunne forklare lidt om hvordan det ville være smartes at gøre??
beregn tallene a og b, så i og -i er løsninger til ligningen:
z^5-12z^4+62z^3-az^2+ibz-82=0
ligningen har yderligere tre løsninger, hvoraf en er reel. Bestem disse tre.
Er lidt i tvivl... er over i noget med polynomiers division hvor jeg dividere z-i og z+i op i polynomiet... men er ikke sikker og kan ikke få det helt til at passe... så tænkte om der var nogen af jer kloge mennesker her inde der kunne forklare lidt om hvordan det ville være smartes at gøre??
Svar #1
15. december 2005 af fixer (Slettet)
Fremfor straks at kaste sig over polynomiers division er det nemmere at udnytte at z=i og z=-i skal være rødder.
Med polynomiet
p(z)= z^5-12z^4+62z^3-az^2+ibz-82
giver dette anledning til de to ligninger
I. p(i) = 0
II. p(-i) = 0
i de to ubekendte a,b E C. Disse ligninger viser sig overordentligt simple at løse.
Med a og b bestemt er det nemt at gætte sig til en reel løsning [prøv f.eks. med z=2].
Med tre rødder bestemt kan der foretages polynomiers division af p og de resterende to komplekse rødder er rødderne i det derved fremkomne andenordenspolynomium.
Med polynomiet
p(z)= z^5-12z^4+62z^3-az^2+ibz-82
giver dette anledning til de to ligninger
I. p(i) = 0
II. p(-i) = 0
i de to ubekendte a,b E C. Disse ligninger viser sig overordentligt simple at løse.
Med a og b bestemt er det nemt at gætte sig til en reel løsning [prøv f.eks. med z=2].
Med tre rødder bestemt kan der foretages polynomiers division af p og de resterende to komplekse rødder er rødderne i det derved fremkomne andenordenspolynomium.
Svar #2
15. december 2005 af Dikael (Slettet)
Er ikke på det sidste du skriver... er med på at jeg kan sætte i ind i ligningen men hvad så derfra ??
Svar #3
15. december 2005 af fixer (Slettet)
p kan skrives
p(z)=(z-i)(z+i)(z-z1)(z-z2)(z-z3)
hvor z1,z2,z3 er ukendte rødder i p(z)=0.
Når a,b er bestemt, vil det være en simpel sag at gætte den reelle rod. Lad os kalde den z1. Udføres divisionen
p(z) : (z-i)(z+i)(z-z1) = (z-z2)(z-z3)
ses at de resterende to, ukendte, komplekse rødder netop er rødder i det ved polynomiers division fremkomne andenordenspolynomium.
p(z)=(z-i)(z+i)(z-z1)(z-z2)(z-z3)
hvor z1,z2,z3 er ukendte rødder i p(z)=0.
Når a,b er bestemt, vil det være en simpel sag at gætte den reelle rod. Lad os kalde den z1. Udføres divisionen
p(z) : (z-i)(z+i)(z-z1) = (z-z2)(z-z3)
ses at de resterende to, ukendte, komplekse rødder netop er rødder i det ved polynomiers division fremkomne andenordenspolynomium.
Skriv et svar til: SSO - Kompleks ligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.