Matematik

opg. 3111 i vejl. opgaver 3 årigt forløb til A-niveau

03. januar 2006 af rizza (Slettet)

Jeg kan simpelthen ikke lave sidste delspørgsmål i opgave 3111.
Bestem en ligning for den kugle, som har centrum inde i pyramiden, og som tangeres af pyramidens bund og de fire sideflader.

Pyramidens bund er spændt mellem
A(1,0,0)
B(1,1,0)
C(0,1,0)
O(0,0,0)

Og pyramiden har top i
D(0,0,2)

Jeg har fundet planerne der indeholder sider og bund:
ABD: 2x+z-2=0
BCD: 2y+z-2=0
OAD: 2y=0
ODC: 2x=0
OABC: z=0

Hvis dette er rigtigt, hvad gør jeg så nu?

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. januar 2006 af Wrune (Slettet)

Ser rigtig nok ud...
Find et punkt som har samme afstand til alle planer og find afstanden til et af planerne.. så har du x,y,z kordinaterne og radius for cirklen... så kan du skrive formelen for cirklen op.. :)

mvh Rune

Svar #2
03. januar 2006 af rizza (Slettet)

Uh - kan jeg få et tip til hvordan jeg skal bære mig ad?

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. januar 2006 af fixer (Slettet)

Da tre af siderne er sammenfaldende med koordinatplanerne må det søgte centrum have formen (r,r,r) hvor r er radius i den indskrevne kugle.

Thi det må nemlig kræves at det søgte centrum ligger lige langt fra disse tre planer. Tildeles centret arbitrært koordinaterne (x,y,z) må altså x=y=z som ydermere må være lig radius i den indskrevne kugle.

Centeret C(r,r,r) skal endvidere også ligge i afstanden r fra de øvrige sider. Heraf fås kravet

|2r+r-2|/sqrt(2²+1²) = r

som kun har een løsning for r i det relevante interval ]0;½[.

Svar #4
04. januar 2006 af rizza (Slettet)

Hvilke sider er sammenfladne med koordinatakserne?? Det er jo en pyramide, hvorfor planerne er skæve??

Undskyld jeg spørger så meget. Jeg kan bare ikke se hvordan man ved at p1=p2=p3=r (for hvad betyder p1, p2 og p3 i formlen
(x-p1)^2+(y-p2)^2+(z-p3)^2=r^2

Og hvorfor er x=y=z

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. januar 2006 af fixer (Slettet)

Du har oplyst at D(0,0,2). Altså ligger D lodret over origo O. Origo er det ene hjørne i grundfladen. Altså må siderne OAD og OCD være sammenfaldende med henholdsvis xz- og yz planet. Grundfladen ABCD ligger helt i xy-planet.

Dette er jo også netop hvad de ligninger, du i #0 angiver for de respektive flader, udtrykker.

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. januar 2006 af fixer (Slettet)

#5

Korrektion:

"Grundfladen ABCD"

->

Grundfladen ABCO

Svar #7
04. januar 2006 af rizza (Slettet)

|2r+r-2|/sqrt(2²+1²) = r

2r+r-2 = sqrt(5)*r

r = (sqrt(5)+2)/2

r= 2,12

Øhh??

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. januar 2006 af fixer (Slettet)

#4

Et punkt med koordinaterne (x,y,z) har jo afstanden x fra yz-planet, afstanden y fra xz-planet og afstanden z fra xy-planet.

Det vil sige, at et punkt, som skal have samme afstand fra disse tre planer, nødvendigvis må have x=y=z.

Vi søger nu et punkt, C, om hvilket det skal gælde, at det er centrum i den indskrevne kugle. Det vil sige, at den vinkelrette afstand fra C til enhver af de 5 flader, som pyramiden består.

Men da tre af sidefladerne netop er xy-, yz- og xz-planet, må dette punkt jo have formen C(x,x,x), hvor x er et eller andet positivt tal.

Da kuglen netop betsår af de punkter, der har afstanden r (=kugleradius) fra dens centrum, C, må vi have x=r, c>0.

Kuglens centrum må da have formen C(r,r,r).

Da C også skal ligge i afstanden r fra de to øvrige sideflader, ABD og BCD, opskrives disse på normalform. Med ligningerne på normalform er det nemlig blot at indsætte koordinaterne for C, så får man direkte afstanden mellem C og det plan, der indeholder sidefladen.

Ligninger på normalform lyder

ABD : |2x+z-2|/sqrt(2²+1²) = 0 (*)

BCD : |2y+z-2|/sqrt(2²+1²) = 0 (**)

Afstanden mellem C og planen, der indeholder sidefladen ABD, findes nu ved at indsætte C's koordinater (r,r,r) i (*) og forlange, at denne afstand skal være lig r. Herved kommer man frem til den ligning, jeg angav i #3.

Du har løst ligningen forkert i #7. Bemærk at der optræder numerisk tegn ||. Dette giver anledning til _to_ ligninger. Een for positivt argument, een for negativt argument. Du har kun løst for det positive argument, hvilket resulteret i et punkt udenfor pyramiden. Derfor kan denne løsning forkastes.

Iøvrigt:

Indsættelse af C(r,r,r) i (**) resulterer i samme ligning som ved indsættelse i (*), så den giver intet nyt.

Brugbart svar (0)

Svar #9
04. januar 2006 af fixer (Slettet)

#8:

For katten da; korrektioner igen igen:

"Det vil sige, at den vinkelrette afstand fra C til enhver af de 5 flader, som pyramiden består. "

->

Det vil sige, at den vinkelrette afstand fra C til enhver af de 5 flader, som pyramiden består af, skal være den samme.

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#7:
Som nævnt i #7, løser ligningen forkert; der gælder følgende:

|2r + r - 2|/(2^2 + 1^2)^(1/2) = r =>
|3r - 2| = 5^(1/2)r =>
+/-(3r - 2) = 5^(1/2)r =>
3r - 2 = -/+5^(1/2)r =>
3r +/- 5^(1/2)r = 2 =>
(3 +/- 5^(1/2))r = 2 =>
r = 2/(3 +/- 5^(1/2)) =>
r = 2/(3 + 5^(1/2))

Brugbart svar (0)

Svar #11
04. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#10:
``Som nævnt i #7'' --> ``Som nævnt i #8''.

Svar #12
04. januar 2006 af rizza (Slettet)

Så prøver jeg at løse den anden, men går i stå:
|2r+r-2|/sqrt5 = r

|3r-2| = sqrt5*r

Hvad så?? Undskyld jeg spørger så meget, men det er virkelig deprimerende ikke at kunne finde ud af det ;)

Brugbart svar (0)

Svar #13
04. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#10:
Det var ikke for at afbryde dig, fixer, at jeg skrev dette indlæg!

#12:
Hvad er problemet? Jeg har jo givet dig facit, og det endda med en ordentlig stak mellemregninger i #10.

Svar #14
04. januar 2006 af rizza (Slettet)

Mange tak.
Det havde jeg ikke set da jeg skrev.
Nu er jeg helt med!

Skriv et svar til: opg. 3111 i vejl. opgaver 3 årigt forløb til A-niveau

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.