Matematik

Eulers sætning

07. januar 2006 af Madsst (Slettet)

Jeg sidder og læser på et bevis for:
summen i=1 til n af (x(i)*f'i(x))=kf(x). hvor x er en vektor af n koordinationer, f'i er den partielle afledte mht. xi og xi er en vektorkoordinat.
Mit spørgsmål er: I bogen bruger man sætningen der skal bevises til at bevise sætningen ved at sige at siden sætningen ovenfor gælder, gælder det også at
summen i=1 til n af t*(x(i)*f'i(tx)=k*f(tx)
Hvorfor kan man bruge sætningen til beviset af sætningen selv? Er det mig der har misforstået hvad det er jeg beviser?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. januar 2006 af fixer (Slettet)

Man kan naturligvis ikke bruge det der skal vises førend det er bevist.

Jeg forstår ikke "beviset" fra din bog. Et simpelt alternativ forløber som følger:

For en funktion f:R^n-> R der er homogen af grad n gælder at

f(ax_1,ax_2,...,ax_n) = a^n*f(x_1,x_2,...,x_n) (*)

hvor a E R\\{0} er en parameter.

Differentiation af (*) mht a giver da

df/d(ax_1)x_1+df/d(ax_2)x_2+...+df/d(ax_n)x_n = na^(n-1)f(x_1,...,x_n)

Lad nu parameteren a=1 og få

df/dx_1*x_1+...+df/dx_n*x_n = nf(x_1,...,x_n)

som er Euler's teorem.

Svar #2
07. januar 2006 af Madsst (Slettet)

okay tak! Det er den modsatte implikation jeg er ved at bevise :) Det der bevis står faktisk i min bog, jeg sad vist bare og sov lidt. Jeg har i øvrigt lige et spørgsmål.
Hvordan skal det forstås at man afbilleder R^n over i R som du skriver? I min bog står der at R=D, hvor D er en kegle. Det betyder at D er givet ved to lige linier med en vinkel på mindre end eller lig 90 grader ik? Eller hvordan...

Svar #3
07. januar 2006 af Madsst (Slettet)

Lige et ekstra spørgsmål: Hvordan skal et dobbelt sumtegn forstås? Hvis man skal tage summen fra i=1 til n af summen fra j=1 til n af et eller andet? Lader man både i og j løbe hvert gang eller dækker hvert i over et gennemløb af j?

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. januar 2006 af fixer (Slettet)

Afbildingen f:R^n->R skal forstås således at f afbilder punkter (x1,x2,...,xn) i det n-dimensionale vektorrum over i punkter i de relle tal R.

Hvis f.eks. n=2 vil funktionen

f(x,y) = x²+y²

afbilde punkter (x,y) E R² over i reelle tal, nemlig tallet x²+y².

Spørgsmålet ang. keglen forstår jeg ikke. En kegle kan ikke eksistere i et endimensionalt rum (=R).

Dobbelt summation indebærer at der summeres over alle kombinationer af de 2 indices.

sum[i=0->n]{sum[j=0->n]{x_ij}} =

sum[i=0->n]{x_i1+x_i2+...+x_in} =

x_11+x_12+...+x_1n +
x_21+x_22+...+x_2n +
:
x_n1+x_n2+...+x_nn

Svar #5
07. januar 2006 af Madsst (Slettet)

jeg mente R(range), definitionsmængde skulle det have betydet. Men det var nok ikke den smarteste notation i sammenhængen.
Samtidig har jeg et nyt spørgsmål: Hvis man befinder sig på en niveau-kurven for en homogen funktion af grad k, og har to punkter (a,b) og (c,d) på kurven, f(a,b)=f(c,d)=N. Så ved man at (ta,tb)=(tc,td)=(t^k)N. Skal så afstanden være lige stor mellem (a,b) til (ta,tb) og (c,d) til (tc,td)?

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. januar 2006 af fixer (Slettet)

Hvis D er en en punktmængde, der danner en kegle, har den blot een ret linie som frembringer.

Til det sidste spørgsmål: Ja, for niveaukurverne er blot radiale expansioner af hinanden.

Skriv et svar til: Eulers sætning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.