Matematik

NEM Grænseværdi?

13. januar 2006 af baloon (Slettet)

Er der nogen kloge hoveder der kan hjælpe mig....

lim x^2-1 / x - 1 for x -> 1

lim x/x+1 for x -> 1

lim x^3+4x / x^2+3x for x->0

Hvad gør man her?

Nogle hints vil være rart

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. januar 2006 af Madsst (Slettet)

Man kan bruge en sætning der hedder "Le Hopitals sætning" der siger at lim for x->a(f(x)/g(x))=f'(a)/g'(a)
Således er den første eksempelvis:
(x^2-1)'/(x-1)'=2x/1, hvor x=1 og dermed er grænseværdien 2

Svar #2
13. januar 2006 af baloon (Slettet)

dvs. for lim x/x+1 for x -> 1

(x)'/(x+1)'= 1/1.... hvad her?

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. januar 2006 af frodo (Slettet)

L'Hospitals regel har sine væsentlige begrænsninger. Den kan kun anvendes i tilfælde, hvor man kommer til at stå med et udtryk af formen "0/0", eller "oo/oo", og måske andre, som jeg ikke kender til.

Den kan derfor kun anvendes til den første og sidste. Den midterste fås ved gemen indsættelse til 0,5

Svar #4
13. januar 2006 af baloon (Slettet)

Hvordan får du den til 0,5?

Rart med detaljer

Da jeg gerne vil have en bedre forståelse.

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. januar 2006 af Duffy

lim{x->0} (x^3+4x) / (x^2+3x) =

lim{x->0} (x*(x^2+4))/(x*(x+3)) =

lim{x->0} (x^2+4)/(x+3) =

lim{x->0} (0^2+4)/(0+3) =

lim{x->0} (4)/(3) = 4/3

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. januar 2006 af frodo (Slettet)

lim{x-->1}(x/(x+1))=1/(1+1)=1/2=0,5

Svar #7
13. januar 2006 af baloon (Slettet)

Tak for jeres hjælp..

Har lige et spørgsmål til Duffy..

Hvornår kan man vide at man skal sætte x udenfor parentes?

Jeg kan se at man ikke behøver at differentiere.

Hvorfor skulle man så:
(x^2-1)'/(x-1)'=2x/1, hvor x=1 og dermed er grænseværdien 2

Hvornår differentiere man og hvornår gør man ikke?

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. januar 2006 af sigmund (Slettet)

Generelt kan siges, at hvis en funktion f(x) eksisterer, og dermed er differentiabel, i et punkt x0, så er grænseværdien for x->x0 lig f(x0) [lim{x->x0} f(x) = f(x0)].

Mht. til dine opgaver:

lim x^2-1 / x - 1 for x -> 1.

Her kan du ikke bare udregne funktionsværdien i x=1, thi nævneren her er 0. Dog kan nævneren skrives som (x+1)*(x-1), og funktionen (x^2-1)/(x-1) forkortes til x+1. Dermed er grænseværdien af (x^2-1)/(x-1) lig 2 for x -> 1.

lim x/x+1 for x -> 1.

Da funktionen x/(x+1) er defineret i x=1, findes grænseværdien ved at udregne funktionsværdien i x=1. Således er grænseværdien af x/(x+1) lig 1/2 for x -> 1.

lim x^3+4x / x^2+3x for x -> 0.

Udregningen af denne grænseværdi er forklaret i #5.

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. januar 2006 af sigmund (Slettet)

#7:

Det er ikke et spørgsmål om hvornår man differentierer, og hvornår man ikke differentierer. Derimod kan du i nogen tilfælde benytte L'Hopitals regel (nemlig hvis du, ved evaluering af funktionen grænsepunktet (x-værdien) får 0 i nævneren), og i nogle tilfælde kan du ved omskrivninger komme til et udtryk, der fint kan evalueres i grænsepunktet. Det sidste gælder tit for polynomiumsbrøker jf. løsningen i #5 og den første løsning i #8. Skal vi derimod finde grænseværdien af f(x)=cos(x)/sin(x) for x -> 0 må vi ty til L'Hopitals regel, der vil give grænseværdien 0.

Brugbart svar (0)

Svar #10
14. januar 2006 af Duffy

#9: Aaaarrrggh sigmund. Det kan du ikke mene.

"Skal vi derimod finde grænseværdien af f(x)=cos(x)/sin(x) for x -> 0 må vi ty til L'Hopitals regel, der vil give grænseværdien 0."

Det må du kunne gøre bedre...

Duffy ;-)

Svar #11
14. januar 2006 af baloon (Slettet)

Tusind Tak for jeres hjælp!!!

Det gav mig en bedre forståelse af grænseværdier.

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. januar 2006 af sigmund (Slettet)

#10:

Tak for at du gjorde mig opmærksom på dette. Det gav mig anledning til at tage et blik på L'Hopitals regel.

Således kan jeg nu se at eksemplet i #9 ikke kan bruges, thi det ikke opfylder betingelserne for benyttelse af L'Hopitals regel.

L'Hopitals regel forudsætter nemlig at både tæller og nævner enten går mod 0 eller \\infty.

Derimod er udtryk 1 og 3 fra #0 eksempel på udtryk, hvor L'Hopitals regel kan bruges, thi både tæller og nævner her går mod 0 i begge tilfælde. Dog er det unødvendigt at ty til den i de to tilfælde.

Brugbart svar (0)

Svar #13
14. januar 2006 af sigmund (Slettet)

Addition til #12:

I øvrigt er

lim{x->0} [cos(x)/sin(x)] = lim{x->0} [cos(x)/sin(x)] = \\infty.

Brugbart svar (0)

Svar #14
16. januar 2006 af fixer (Slettet)

Vi må også lige have på plads, at i de af de ovennævnte tilfælde, hvori grænseværdien "findes ved evaluering/indsættelse" er det helt essentielt, at den betragtede funktion er kontinuert i grænsepunktet. Det er nemlig dette, der sikrer, at grænseværdien eksisterer og netop er lig funktionsværdien i punktet.

Brugbart svar (0)

Svar #15
16. januar 2006 af Duffy

Jah, det går fx ikke at indsætte x=0

i x^x for at finde grænseværdien

lim{x->0} x^x

da 0^0 ikke er defineret.

Duffy

Skriv et svar til: NEM Grænseværdi?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.