Matematisk argumentation

Du kan jo evt. bare benytte at grafen er symmetrisk omkring y-aksen, og derfor er arealet af M1 = arealet M2.

Eller så kan du jo bare regne arealet af hver af de 2 punktmænger ud, og sætte dem lig med hinanden.

grafen er jo ikke symmetrisk om y-aksen!

Hint: f(-x) = -f(x) for alle x E R.

Det betyder specielt at f(0) = 0 og at hvis intervallet I1 = [-b,0], b > 0 afgrænser den ene punktmængde på x-aksen, så afgrænser intervallet I2 = [0,b] den anden punktmængde på x-aksen. Ifølge hintet antager f på disse intervaller numerisk lige store værdier i punktet x i det ene interval og punktet -x i det andet interval. Slut heraf at A(M1) = A(M2).

#3 Tak, men kAn du være sød at forklare det lidt mere for dummies, så jeg forstår det 100%?

At f(-x) = -f(x) medfører at grafens skæringspunkter med x-aksen ligger symmetrisk om y-aksen eller på denne. Fordi hvis a er sådan et skæringspunkt, altså f(a) = 0, så ved vi at f(-a) = -f(a) = 0, altså at også f(-a) er et skæringspunkt.

Du kan efterprøve det i det konkrete tilfælde.

f(x) = x³-4x = 0 <=>

x(x²-4) = 0 <=>

x(x-2)(x+2) = 0 <=>

x = -2 \\/ x = 0 \\/ x = 2

Dvs de intervaller på x-aksen, som afgrænser de to punktmængder M1 og M2 er hinandens spejlbillede i y-aksen. Vi kan jo kalde det ene interval A=[-2,0] og det andet B=[0,2].

Hvis vi nu udser os et x i A, så vil altså -x ligge i B. F.eks. x=-1 ligger i A og -x = -(-1) = 1 ligger i B.

Men da nu f(-x) = -f(x) så gælder jo at funktionsværdien i ethvert punkt x i intervallet A numerisk er den samme som funktionsværdien i punktet -x i B.

Arealerne kan altså bestemmes ved integration over "lige store" intervaller på hvilke integranden f(x) antager præcist de samme værdier i "de samme" punkter.

Rent grafisk betyder f(x) = -f(x) at hvis M1 (M2) spejles i y-aksen vil den spejlede punktmængde være spejlbilledet af M2 )M1) i x-aksen.

Rettelse:

at også f(-a) er et skæringspunkt.

->

at også -a er et skæringspunkt.

Mange tak! det kunne jeg forstå :)

Endnu en rettelse:

på hvilke integranden f(x) antager præcist de samme værdier

->

på hvilke integranden f(x) numerisk antager præcist de samme værdier