Lagrange funktionen

Ingen? Fixer? :)

#0:
Skriv hvad du er kommet frem til (husk mellemregninger), så skal jeg nok forsøge at se på det, medmindre det da absolut skal være fixer.

Narj, du er god nok! :) (a=lanbda)
L(x,y)=x^3y-x^2y+32y-a(x^2y-16)
dL/dx=3x^2y-2xy-2axy=0
dL/dy=x^3-x^2+32-ax^2=0, bibetingelsen udelukker x=0 og y=0.
a=0: 3x^2y-2xy=0 => 2x^2y=2xy, x=1, x=1: x^2y=16 => y=16
a=!0: her kommer mine problemer. Kan ikke overskue hvordan jeg skal løse det ligningssystem og jeg skal jo vise at der kun er en løsning.

#3:
Hvad er L? Jeg synes også lige vi skal være helt sikre på, at vi er enige om hvad Lagrangefunktionen generelt er.

Okay, ja. Som jeg har lært lagrangefunktionen for en funktion med to variable være:
L(x,y)=f(x,y)-a(g(x,y)-c), hvor f(x,y) er funktionen der skal maksimeres/minimeres mht bibetingelse
g(x,y)=c. L er således lagrange funktionen i ovenfor.

#5:
Åh, det er overhovedet ikke det jeg kender som Lagrangefunktionen. For at jeg nu ikke skal rode rundt i det, er det nok bedre hvis fixer eller andre kompetente folk overtager.

Jeg kender Lagrangefunktionen/-ligningen som

(1+f_y²)*f_{xx} + 2*f_x*f_y*f_{xy} + (1+f_x²)*f_{yy} = 0

hvor

f_x = df/dx
f_y = df/fy
f_{xx} = d²f/dx²
f_{xy} = d[df/dx]/dy
f_{yy} = d²f/dy²

#6
Jeg tror du tænker på Euler-Lagrange PDE'en som fremkommer i variationsregningen ved bestemmelsen af ekstrema for integraler på formen

b
S[f(x,y,y')]dx = I
a

I har ekstrema netop hvis f tilfredsstiller din ligning.


#0, #3, #5
Økonomiteori (for det er vel det vi har gang i) er i det store og hele baseret på optimeringsteori. Forbrugere antages at ville maksimere deres udbyttefunktioner. Producenter antages at ville maksimere deres profitfunktioner. Begge med mindst mulig omkostning.

Der er to grundlæggende optimeringsproblemer i økonomi: betinget og ubetinget optimering.

Den klassiske metode at løse betingede optimeringsproblemer på er ved hjælp af Lagrange multiplikatorer. Lad der være givet en funktion f(x1,x2,...,xn) underkastet betingelsen g(x1,x2,...,xn)=0. Det forudsættes at f og g har kontinuerte partielle afledede af første orden og at grad(g) != nulvektoren.

Såfremt f har et ekstremum i punktmængden fastlagt af g skal grad(f) være parallel med grad(g) i dette punkt. Man kan ret let ved helt uformelle overvejelser overbevise sig derom ved at betragte konturerne g(x1,x2,...,xn)=0 og konturerne for f. Almindeligvis krydser konturen for g konturerne for f. Det betyder, at betragter man en omegen af et bestemt punkt på konturen for g, så vil f i denne omegn ikke antage nogen ekstremalværdi. For når konturen for g krydser konturerne for f vil f jo vokse eller aftage i denne omegn. Kun hvis konturen for g tangerer en kontur for f vil f være uforanderlig i en omegn af tangentpunktet.

Betingelsen for ekstremum lyder derfor

grad(f) = -k*grad(g) (*)

hvor proportionalitetskonstanten benævnes en 'Lagrange multiplikator'.

Som det ses er (*) helt ækvivalent med #5 dersom man danner Lagrangefunktionen

L(x1,x2,...,xn) = f(x1,x2,...,xn) + k*g(x1,x2,...,xn)

og bestemmer de stationære punkter for denne. Ligning (*) udtrykker netop en nødvendig betringelse for eksistensen af stationære punkter.

Betragt til eksempel optimering af funktionen f(x,y) underkastet betingelsen g(x,y)=b. Langrangefunktionen er da

L(x,y,k) = f(x,y) + k[b-g(x,y)]

og de nødvendige betingelser for stationære punkter er

L_x = f_x - k*g_x = 0 (1)

L_y = f_y - k*g_y = 0 (2)

L_k = b - g(x,y) = 0 (3)

med Dominik's notation.

Ligning (3) er opfyldt qua betingelsen. De stationære punkter x*, y*, k* bestemmes ved først at elimiere k ved division af (1) og (2)

f_x/f_y = g_x/g_y (4)

og omordne (3)

b = g(x,y) (5)

I lignignerne (4)-(5) haves to ligninger til bestemmelse af x* og y*. Med disse bestemt findes k* i (1) (f.eks.) som

k* = f_x(x*,y*)/g_x(x*,y*)

Det er iøvrigt en simpel sag at vise, at dL/db(x*,y*,k*) = k*. Lagrange multiplikatoren udtaler sig derfor om hvilken virkning en ændring i betingelsesparameteren b har på den optimale værdi af f.

I det konkrete tilfælde haves:

f_x = 3yx^2-2xy

f_y = x^3-x^2+32

g_x = 2xy

g_y = x^2

og (4) og (5) giver

2y/x = (3yx^2-2xy)/(x^3-x^2+32) (5)

16 = yx^2 (6)

Det er blot at løse (5-6). Eftersom det volder problemer så bemærk at du blot skal udnytte (6) i videre regninger med (5):

2y/x = (3yx^2-2xy)/(x^3-x^2+32) <=>

3yx^2-2xy = 2yx^2-2xy+64y/x <=>

yx^2 = 64y/x => (brug nu (6))

16 = 64y/x <=>

y* = x*/4 (7)

Af (7) kan nu bestemmes x* eller y* ved at indsætte (7) i betingelsen (6). Derefter kan k* bestemmes ved indsættelse af x* og y* i enten (1) eller (2). Eksempelvis fås af (1):

k* = f_x(x*,y*)/g_x(x*,y*)

Når talen falder på Lagrange forstår jeg iøvrigt gpdt forvirringen. Lagrange optræder i mange sammenhænge. Som et yderligere eksempel kan nævnes Lagrangebeskrivelsen af fluidligningerne og den Langrangeafledede, som er en konvektiv afledet i fluiddynamik.

Ordentlig smøre, tak for det :)
Mit problem er at jeg skal løse det vha Lagrangefunktionen (se #3). Det betyder at jeg får en ekstra variabel og mit problem er at hverken x,y eller lambda kan være nul, hvilket de har været en mulighed i de andre standardopgaver :)

Hmm, ulempen ved lange indlæg er nok at folk ikke læser dem ordentligt. For #7 _er_ løst med Lagrangefunktionen.

I #3 har du jo beregnet L_x og L_y. Som det nu burde fremgå af #7 kan du udfra kravene til stationære punkter

L_x = 0

L_y = 0

rykke om på leddene således at skæg og snot kommer hver for sig: på den ene side af hver af ligningerne står der noget med a, på den anden gør der ikke. Så divideres de med hinanden, a dropper ud og du får en relation mellem x* og y* som skal anvendes ved de videre regninger.

Jeg må bede dig læse #7 igen.

Undskyld, det havde jeg ikke lige set.
Mange tak!