Matematik

Forklar integration

09. maj 2006 af 3700-Line (Slettet)

Nogen der kan hjælpe har problemer med at forstå udregningerne, når man integrere(Partiel og substition), jeg forstår intet hva der står i min bog.
Så er der nogen som er gode og vil forklare/skære ud i pap hvordan udregningerne foregår.

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. maj 2006 af Duffy

Har du et konkret eksempel/integral du vil have gennemgået?

Svar #2
10. maj 2006 af 3700-Line (Slettet)

Nej, det er bare nogle forskellige fra både partiel og substition jeg kunne tænke mig, hvis nogle havde lyst til at forklare hvordan der skal gøres.

Svar #3
10. maj 2006 af 3700-Line (Slettet)

Har nogle opgaver her:

Integraletegn x*ln(x^2-4)dx

Integraletegn 2/(x*ln^3*x)dx

Integraletegn x*e^2x dx

Integraletegn 4/4^x dx

Integraletegn (e^x)^3

Og jeg er så LOST idet, så hvis nogle har lyst til at hjælpe her. Skal op til skriftlig eksamen i mat. og mon ikke der kommer noget Integral regning.

Svar #4
10. maj 2006 af 3700-Line (Slettet)

Har nogle opgaver her:

Integraletegn x*ln(x^2-4)dx

Integraletegn 2/(x*ln^3*x)dx

Integraletegn x*e^2x dx(det betyder at både 2 og x er opløftet)

Integraletegn 4/(4^x) dx

Integraletegn (e^x)^3 dx

Og jeg er så LOST idet, så hvis nogle har lyst til at hjælpe her. Skal op til skriftlig eksamen i mat. og mon ikke der kommer noget Integral regning.

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. maj 2006 af Madsst (Slettet)

Eksempel på substitution:
Sx*ln(x^2-4)dx, substituer u=x^2-4, da er du=2xdx
Så har du integralet:
Sx/2xlnu=½Slnu, hvilket umiddelbart kan integreres (kan ikke lige huske hvad det er)

Eksempel på partiel:
Sx*e^2xdx, brug formlen:
Sf(x)*g'(x)=f(x)g(x)-Sf'(x)*g(x):
Sx*e^2xdx=x*e^2x*1/2-S1*e^2x*1/2=
x*e^2x/2-1/2*1/2e^2x+C

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. maj 2006 af mathon

#5 suppleret.
½Slnu*du=½*(u*ln(u)-u)=½*u(ln(u)-1)=

½(x^2-4)*(ln(x^2-4)-1)+k, hvor k er en integrationskonstant

S2/(x*ln^3*x)dx konstanten sættes udenfor integraltegnet
2S1/(x*(ln(x))^3)*dx
substituer u=ln(x); differentier u med hensyn til x: du/dx=1/x eller du=1/x*dx, der indsat giver
2*S(1/u^3)du eller 2*S(u^-3)du=-u^-2=

-(ln(x))^-2+k, hvor integrationskonstanten først er medtaget til sidst

Svar #7
11. maj 2006 af 3700-Line (Slettet)

takker lige #5 og #6

Men ved at skrive det op således:
Eksempel på partiel:
Sx*e^2xdx, brug formlen:
Sf(x)*g'(x)=f(x)g(x)-Sf'(x)*g(x):
Sx*e^2xdx=x*e^2x*1/2-S1*e^2x*1/2=
x*e^2x/2-1/2*1/2e^2x+C

Det forstår jeg ikke så meget af desværre.

Kan man ikke være sød at sige hva man gør led for led, som #6 gør i sin.

Har disse som eks.

Integraletegn 2/(x*ln^3*x)dx

Integraletegn 4/(4^x) dx

Integraletegn (e^x)^3 dx

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. maj 2006 af ibibib (Slettet)

Da f(x)=x er f'(x)=1
Da g'(x)=e^(2x) er g(x)=1/2·e^(2x)
Dette indsættes i den nævnte formel.

S x*e^(2x)dx =
x·1/2·e^(2x)-S1·1/2·e^(2x) =
x·1/2·e^(2x)-1/2·1/2·e^(2x)+C =
x·1/2·e^(2x)-1/4·e^(2x)+C

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. maj 2006 af mathon

S 2/(x*ln^3(x))*dx

her anvendes med fordel substitution, da ln'(x)=1/x, hvilket kan anvendes her:

du substituerer ln(x) med u:
u=ln(x). Dernæst differentierer du u med hensyn til x du/dx=1/x eller 1/x*dx=du.

i 2/(x*ln^3(x))*dx, som kan omrokeres til
[2/ln^3(x)]*[1/x*dx] - firkantede parenteser er anvendt for at få dig til at "fokusere" og opfatte lige netop disse to særdeles brugbare "faktorer"!!!

Den første, 2/ln^3(x), kan omskrives til
2/u^3, da u=ln(x), som beskrevet ovenfor
og
den anden, 1/x*dx=du, som også er beskrevet ovenfor.
Tilbage er derfor kun 2/u^3*du, så du skal beregne
S 2/u^3*du=2*S u^-3*du= -u^-2 + k, hvor k er en integrationskonstant. Men det var jo med hensyn til x, vi skulle integrere og ikke med hensyn til u. Men dette klares jo nemt, da u=ln(x), som omtalt ovenfor.
-u^-2 + k = -ln^-2(x)+k.

Resultat:
S 2/(x*ln^3(x))*dx = -ln^-2(x)+k

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. maj 2006 af mathon

S 4/(4^x)*dx:

Du har et sted i dine opslagsbøger stående, at
(a^x)'=ln(a)*a^x, hvor a er et positivt reelt tal.

Hvis a=4, betyder det, at
d(4^x)/dx=ln(4)*4^x, hvilket vi med fordel vil benytte.

Vi vender tilbage til
S 4/(4^x)*dx:
vi substituerer 4^x med u

u=4^x <=> du/dx=ln(4)*u eller
dx=du/(ln(4)*u).
Nu har vi det nødvendige "værktøj" og bruger det.

S 4/(4^x)*dx = 4*S1/4^x*dx (faktor udenfor integrationstegnet)

4*S1/4^x*dx = 4*S1/u*du/((ln(4)*u))=

4/ln(4)*S1/u^2*du - (1/ln(4) udenfor integrationstegnet), hvilket er forenklet til overkommelige beregninger.

ln(4)=ln(2^2)=2*ln(2) -
husker du sikkert.

4/ln(4)*S1/u^2*du = 2/ln(2)*S1/u^2*du =
2/ln(2)*(-1)*S(-1/u^2)*du (ganget med -1 to gange)=
-2/ln(2)*1/u + k, hvor k er en integrationskonstant - (et sted i dine opslagsbøger står S-1/x^2*dx = 1/x + k
her blot med variabel u i stedet for x).

-2/ln(2)*1/u + k = -2/ln(2)*1/4^x + k (se ovenfor u=4^x)
Resultat:
S 4/(4^x)*dx = -2/ln(2)*1/4^x + k

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. maj 2006 af mathon

S(e^x)^3*dx:

her substitueres e^x med u

u=e^x <=> du/dx=e^x eller du/dx=u eller bedre dx=du/u (du har et sted i dine opslagsbøger stående (e^x)'=e^x).

Værktøjet er klar:
S(e^x)^3*dx = Su^3*du/u = Su^2*du =

1/3*u^3 + k = 1/3*(e^x)^3 + k, (da u=e^x - se ovenfor)

Resultat:
S(e^x)^3*dx = 1/3*(e^x)^3 + k=

1/3*e^(3x) + k

Sig så ikke, at der ikke er service på!
Nu bør du efterfølgende sætte dig hen og prøve SELV at regne disse tre integraler igennem på papir - omstændeligt led for led - for at se om du kan gennemføre det uden at "kigge" før det er absolut nødvendigt. Når du ikke behøver kigge mere, har du lært og i hvert fald fået styrket den vaklende selvtillid. God erkendelseskamp!

Brugbart svar (0)

Svar #12
11. maj 2006 af mathon

hvis du vil forstå partiel integration, kan du IKKE "snige dig uden om" #5's oplysninger: "Sf(x)*g'(x)*dx=f(x)g(x)-Sf'(x)*g(x)*dx". Der findes ingen vej udenom. Det præciserer netop, hvad partiel integration ER. Første led er "sluppet for" integrationstegn - altså integreret, mens andet led stadig indeholder et integrationstegn, så "man må på den igen".
Det er jo netop partiel - eller delvis - integration.

Måske mangler du den grundlæggende forståelse af, hvorfor det forholder sig således:

(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) eller
f(x)*g'(x)=(f(x)*g(x))'-f'(x)*g(x)

Der integreres med hensyn til x på begge sider:
Sf(x)*g'(x)dx=S((f(x)*g(x))'-f'(x)*g(x))dx

Sf(x)*g'(x)dx=
S((f(x)*g(x))'dx-Sf'(x)*g(x))dx
eller
Sf(x)*g'(x)dx=f(x)*g(x)-Sf'(x)*g(x))dx

"den ene funktion urørt" * "en stamfunktion til den anden" - "integralet af den fundne stamfunktion" * "den før urørte differentieret"

Metoden finder anvendelse ved integration af produktet af to funktioner, hvor den ene let integreres og den anden let differentieres, samtidig med at de fundne mellemregninger simplificeres.

et eksempel:
Sx^2*e^x*dx
her sættes f(x)=x^2 og g'(x)=e^x
og vi anvender
Sf(x)*g'(x)dx=f(x)*g(x)-Sf'(x)*g(x))dx eller
Sx^2*e^xdx = x^2*e^x - S2x*e^x*dx, da e^x er sin egen stamfunktion
S2x*e^x*dx kan igen partielt integreres, hvorfor
Sx^2*e^x*dx = x^2*e^x - S2x*e^x*dx=
x^2*e^x - 2(x*e^x-Se^x*dx)=
x^2*e^x-2x*e^x+2Se^x*dx=

x^2*e^x-2x*e^x+2e^x+k =e^x*[x^2-2x+2]+k

resultat:
Sx^2*e^x*dx = e^x*[x^2-2x+2]+k

Skriv et svar til: Forklar integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.