Matematik

Eks. opgave 7a (MatA)

11. februar 2004 af strange18 (Slettet)

Halløj i stuen,

jeg har brug for hjælp til denne opgave. Den indgår i en hjemmeprøve som vi har fået og jeg er derfor meget interesseret i at få løst opgaven rigtigt. Kan imidlertid ikke finde ud af den. Den lyder:

Vis, at enhver af funktionerne
f(x)= ax*exp(-x) + b*exp(-x) , hvor a,b er R,
er løsning til differentialligningen
y''+2y'+y=0

Bestem a og b, således at f(0)=1 og f'(0)=0

Vh. Trine

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. februar 2004 af Jean

Ad 1)

Bare sæt ind i formlen. Altså differentier f(x) og sæt ind.

Ad 2. Løs to ligninger med to ubekendte.

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. februar 2004 af iB (Slettet)

Hvis du sætter f(x)=y, og så differentiere den to gange (husk at f(x) også er lig (ax+b)e^(-x))
Dvs at f"(x)=y".
Så sætter du ganske enkelt ind i din ligning med y, og hvis det giver 0, er det vist.

At bestemme a og b, en at løse to ligninger med to ubekendte.

Det kan godt være, at min metodik ikke er helt perfektt, men jeg vil da mene, at man kan løse opgaven, som jeg her har skrevet.
/iB

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. februar 2004 af Peden (Slettet)

Man kan vel også løse karakterligningen og så sætte ind i en given formel?

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. februar 2004 af Jean

Hvad er karakterligningen? Den har jeg aldrig hørt om før...

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. februar 2004 af iB (Slettet)

#3 -jep! :-)
Fandt lige min gamle analyse 1 frem og fandt:

Hvis
f"(t)+a*f´(t)+b*t=0
så er karakterligningen:
R^2+a*R+b=0

Hvis denne ligning har to rødder, r1 og r2, så er samtlige løsninger:
x=c1*e^(r1*t)+c2*e^(r2*t)

(gidder ikke skrive den komplexe løsning)

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. februar 2004 af 404error (Slettet)

Ja, men nu har den vist en dobbeltrod - i hvert fald hvis det skal passe med familien af løsningsfunktioner...

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. februar 2004 af iB (Slettet)

Hov, ja, havde lige overset det i dovenskaben :-)
For god ordens skyld:

Hvis karakterligningen har dobbeltroden r, så er samtlige løsninger:
x=c1*e^(r*t)+c2*t*e^(r*t)

Skriv et svar til: Eks. opgave 7a (MatA)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.